Question-99326

Question Number 99326 by 175 last updated on 20/Jun/20

Answered by abdomathmax last updated on 20/Jun/20

at form of serie I =∫ ((e^(2x) e^(−x^2 −5x−4) )/(1−e^(x−x^2 −5x−4) )) dx =∫ (e^(−x^2 −3x−4) /(1−e^(−x^2 −4x−4) ))dx =∫ e^(−x^2 −3x−4) Σ_(n=0) ^∞ e^(−nx^2 −4nx−4n) dx =Σ_(n=0) ^∞ e^(−nx^2 −4nx−4n) ∫ e^(−x^2 −3x−4) dx =Σ_(n=0) ^∞ e^(−nx^2 −4nx−4n) Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n (x^2 +3x+4)^n )/(n!)) =Σ a_n .Σ b_n =Σ c_n with c_n =Σ_(i+j=n) a_i b_j =Σ_(i=0) ^n e^(−ix^2 −4ix−4i) (((−1)^(n−i) (x^2 +3x+4)^(n−i) )/((n−i)!)) ⇒ I =Σ_(n=0) ^∞ (Σ_(i=0) ^n (((−1)^(n−i) )/((n−i)!)) e^(−ix^2 −4ix−4i) (x^2 +3x+4)^(n−i) )

$$\mathrm{at}\:\mathrm{form}\:\mathrm{of}\:\mathrm{serie} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}−\mathrm{4}} }{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}−\mathrm{4}} }\:\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{4}} }{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}−\mathrm{4}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{4}} \:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4nx}−\mathrm{4n}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4nx}−\mathrm{4n}} \:\int\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{4}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4nx}−\mathrm{4n}} \sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}+\mathrm{4}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!} \\ $$$$=\Sigma\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} .\Sigma\:\mathrm{b}_{\mathrm{n}} =\Sigma\:\mathrm{c}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{with} \\ $$$$\mathrm{c}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{i}+\mathrm{j}=\mathrm{n}} \:\:\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{b}_{\mathrm{j}} =\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ix}−\mathrm{4i}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{i}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}+\mathrm{4}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{i}} }{\left(\mathrm{n}−\mathrm{i}\right)!} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{i}} }{\left(\mathrm{n}−\mathrm{i}\right)!}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ix}−\mathrm{4i}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}+\mathrm{4}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{i}} \right) \\ $$

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