Question Number 99503 by DGmichael last updated on 21/Jun/20
Answered by MWSuSon last updated on 21/Jun/20
$$\mathrm{i}\:\mathrm{think}\:\mathrm{if}\:\mathrm{you}\:\mathrm{make}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos2x}\right) \\ $$$$\mathrm{it}\:\mathrm{will}\:\mathrm{be}\:\mathrm{easier}.. \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}+\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{2}}\right)=−\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}+\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{2}}\right) \\ $$
Commented by DGmichael last updated on 21/Jun/20
please I would like to know how to make them using dévelopment limited to order n .
Commented by MWSuSon last updated on 21/Jun/20
sorry sir I don't understand what you mean.
Commented by Ar Brandon last updated on 24/Jun/20
Using Taylor's series he meant. well I think so.
Answered by MWSuSon last updated on 21/Jun/20
$$\mathrm{you}\:\mathrm{can}\:\mathrm{make}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{easier}.\: \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{sinxcos3x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)−\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right]. \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{4}^{\mathrm{n}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}+\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{2}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}+\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}+\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}+\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{2}}\right) \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Jun/20
$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\left(\mathrm{n}\right)} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)^{\mathrm{n}} \:\:\mathrm{so}\:\mathrm{for}\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} }{\mathrm{2}}\right)^{\left(\mathrm{n}\right)} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} \right)^{\left(\mathrm{n}\right)} \:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right)^{\left(\mathrm{n}\right)} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} \:\:+\left(−\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right\} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\:\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} \:+\left(−\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right\} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{4}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}}\left\{\:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} \:+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right\}\:=\left(−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\left(−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\:\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} \:+\left(−\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right\} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{4}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}}\:\left\{\:\mathrm{2i}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} \:−\mathrm{2i}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right\} \\ $$$$=−\mathrm{2i}×\mathrm{4}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left\{\mathrm{2isin}\left(\mathrm{2x}\right)\right\}\:=\mathrm{4}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Jun/20
$$\mathrm{another}\:\mathrm{way}\:\mathrm{for}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{2sinx}\:\mathrm{cosx}\:\Rightarrow\:\mathrm{for}\:\mathrm{n}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{2}\left(\mathrm{sinx}\:\mathrm{cosx}\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \:\:=_{\mathrm{leibniz}} \:\:\:\:\mathrm{2}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\:\mathrm{C}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{sinx}\right)^{\left(\mathrm{k}\right)} \left(\mathrm{cosx}\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\frac{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)\pi}{\mathrm{2}}\right)\:. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Jun/20
$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{sinx}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\:=\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\: \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}−\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\:−\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\right\}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i4x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{i4x}} }{\mathrm{2i}}−\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i2x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{i2x}} }{\mathrm{2i}}\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4i}}\left\{\:\mathrm{e}^{\mathrm{4ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{4ix}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} −\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} \right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\left.\mathrm{g}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4i}}\left\{\:\:\mathrm{4i}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{4ix}} −\left(−\mathrm{4i}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{4ix}} \:+\left(−\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \:−\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} \right\} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{g}^{\left.\right)\left.\mathrm{n}\right)} \:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{simplified}… \\ $$