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Question-99600

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Question Number 99600 by bemath last updated on 22/Jun/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 22/Jun/20
y^(′′) +3y^′ +2y =sin(e^x ) (he)→y^(′′) +3y^′ +2y =0 →r^2 +3r +2 =0 Δ =1 ⇒r_1 =((−3+1)/2) =−1 and r_2 =((−3−1)/2) =−2 ⇒y_h =a e^(−x) +be^(−2x) =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 ) = determinant (((e^(−x) e^(−2x) )),((−e^(−x) −2e^(−2x) )))=−2e^(−3x) +e^(−3x) =−e^(−3x) W_1 = determinant (((0 e^(−2x) )),((sin(e^x ) −2e^(−2x) )))=−e^(−2x) sin(e^x ) W_2 = determinant (((e^(−x) 0)),((−e^(−x) sin(e^x ))))=e^(−x) sin(e^x ) v_1 =∫ (w_1 /W)dx =∫ ((−e^(−2x) sin(e^x ))/(−e^(−3x) ))dx =∫ e^x sin(e^x )dx =−cos(e^x ) v_2 =∫ (W_2 /W)dx =∫ ((e^(−x) sin(e^x ))/(−e^(−3x) ))dx =−∫ e^(2x) sin(e^x )dx =_(e^x =t) =− ∫ t^2 ((sint)/t)dt =−∫t sint dt = −{ −tcost +∫ cost dt} =tcost −sint =e^x cos(e^x )−sin(e^x ) ⇒ y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 =−e^(−x) cos(e^x )+e^(−2x) (e^x cos(e^x )−sin(e^x )) =−e^(−x) cos(e^x )+e^(−x) cos(e^x )−e^(−2x) sin(e^x ) =−e^(−2x) sin(e^x ) the general solution is y =y_h +y_p =a e^(−x) +be^(−2x) −e^(−2x) sin(e^x )
$$\mathrm{y}^{''} \:+\mathrm{3y}^{'} \:+\mathrm{2y}\:=\mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right) \\ $$$$\left(\mathrm{he}\right)\rightarrow\mathrm{y}^{''} \:+\mathrm{3y}^{'} \:+\mathrm{2y}\:=\mathrm{0}\:\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3r}\:+\mathrm{2}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{3}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=−\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{3}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=−\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\\{−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:−\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{2e}^{−\mathrm{3x}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \:=−\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\\{\mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\:\:\:−\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right) \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)}\end{vmatrix}=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)}{−\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} }\mathrm{dx}\:=\int\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx}\:=−\mathrm{cos}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)}{−\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} }\mathrm{dx}\:=−\int\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} =\mathrm{t}} \\ $$$$=−\:\int\:\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:\:=−\int\mathrm{t}\:\mathrm{sint}\:\mathrm{dt}\:=\:−\left\{\:−\mathrm{tcost}\:+\int\:\mathrm{cost}\:\mathrm{dt}\right\} \\ $$$$=\mathrm{tcost}\:−\mathrm{sint}\:=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)−\mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)−\mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\right) \\ $$$$=−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\:=−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right) \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{2x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right) \\ $$
Commented by bemath last updated on 22/Jun/20
thank you sir
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 22/Jun/20
you are welcome sir.
$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}\:\mathrm{sir}. \\ $$

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