Question Number 114740 by mathdave last updated on 20/Sep/20
$${question}\:{proposed}\:{by}\:{m}.{n}\:{july}\:\mathrm{1970} \\ $$$${show}\:{that} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx}=\frac{\mathrm{5}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}} \\ $$
Answered by mathdave last updated on 20/Sep/20
$${solution} \\ $$$${let} \\ $$$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx}+\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx} \\ $$$${put}\:{x}=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:\:{for}\:{the}\:{second}\:{part} \\ $$$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx}+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{0}} \frac{{x}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)}×−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}\mathrm{ln}{x}}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx} \\ $$$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx}−\underset{\mathrm{0}} {\int}^{\mathrm{1}} \frac{{x}\mathrm{ln}{x}}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx} \\ $$$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}\mathrm{ln}{x}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }{dx}={A}−{B} \\ $$$${let}\:{A}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}}{dx}\:\:\:\:\:\:{put}\:\:{x}=−{x} \\ $$$${A}=\int_{\mathrm{0}} ^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}}{dx}=−{Li}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right)=−\left(−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\right) \\ $$$${A}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}………\left(\mathrm{1}\right)\:\:\:{then} \\ $$$${B}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}\mathrm{ln}{x}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }{dx}=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}\mathrm{ln}{x}.{x}^{\mathrm{2}{n}} {dx} \\ $$$${B}=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \mathrm{ln}{xdx} \\ $$$${B}=\frac{\partial}{\partial{a}}\mid_{{a}=\mathrm{1}} \left(\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} .{x}^{{a}−\mathrm{1}} {dx}\right) \\ $$$${B}=\frac{\partial}{\partial{a}}\mid_{{a}=\mathrm{1}} \left(\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}{n}+{a}} {dx}\right)=\frac{\partial}{\partial{a}}\mid_{{a}=\mathrm{1}} \left(\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+{a}+\mathrm{1}}\right)\right) \\ $$$${B}=−\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\:\: \\ $$$${B}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} }=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\right)=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}} \\ $$$${but}\:{I}={A}−{B}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\left(−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\right)=\frac{\mathrm{5}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}} \\ $$$$\because\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx}=\frac{\mathrm{5}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}} \\ $$$${by}\:{mathdave}\left(\mathrm{20}/\mathrm{09}/\mathrm{2020}\right) \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 21/Sep/20
$${thank}\:{you}\:{mr}\:{dave} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 21/Sep/20
welldone
Commented by Tawa11 last updated on 06/Sep/21
$$\mathrm{great}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 20/Sep/20
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx}\left(\rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx}\:\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)}\left(\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}×\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)−\mathrm{lnx}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{xln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{xln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\Rightarrow\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\left\{\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right\}\xi\left(\mathrm{2}\right)\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:\mathrm{also}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{xln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{xlnx}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{xlnx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\right)\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}}\:=\frac{\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} \:+\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}}\:=\frac{\mathrm{5}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 21/Sep/20
$${thank}\:{you}\:{so}\:{much} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 21/Sep/20
$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome} \\ $$