resouds-1-x-y-xy-x-

Question Number 152801 by SANOGO last updated on 01/Sep/21

$${resouds} \\ $$$$\mid\mathrm{1}−{x}\mid{y}'+{xy}={x} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 02/Sep/21

case 1 if x>1 e ⇒(x−1)y^, +xy=x (e) (he)→(x−1)y^′ +xy=0 ⇒(x−1)y^′ =−xy ⇒(y^′ /y)=−(x/(x−1)) =−((x−1+1)/(x−1))=−1−(1/(x−1)) ⇒ln∣y∣=−x−ln(x−1) ⇒ y=e^(−x) ×(1/(x−1))=K(e^(−x) /(x−1)) mvc method y^′ =K^′ (e^(−x) /(x−1)) +K×((−e^(−x) (x−1)−e^(−x) )/((x−1)^2 )) =K^′ (e^(−x) /(x−1))−K ((xe^(−x) )/((x−1)^2 )) (e) ⇒K^′ e^(−x) −K ((xe^(−x) )/(x−1)) +Kx (e^(−x) /(x−1))=x ⇒K^′ =xe^x ⇒ K =∫ xe^x dx =xe^x −∫ e^x dx =xe^x −e^x +λ=(x−1)e^x +λ ⇒ the general so<ution is y =K(x)(e^(−x) /(x−1))={(x−1)e^x +λ} (e^(−x) /(x−1))=1+((λe^(−x) )/(x−1)) case 2 x<1 ⇒(1−x)y^′ +xy =x we follow the same way....

$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}\:\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}>\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{e}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{,} \:+\mathrm{xy}=\mathrm{x}\:\:\left(\mathrm{e}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{he}\right)\rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{'} +\mathrm{xy}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{'} \:=−\mathrm{xy}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{y}^{'} }{\mathrm{y}}=−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}=−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\mid\mathrm{y}\mid=−\mathrm{x}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} ×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}=\mathrm{K}\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{mvc}\:\mathrm{method}\:\:\mathrm{y}^{'} =\mathrm{K}^{'} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:+\mathrm{K}×\frac{−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{K}^{'} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{K}\:\frac{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left(\mathrm{e}\right)\:\Rightarrow\mathrm{K}^{'} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:−\mathrm{K}\:\frac{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:+\mathrm{Kx}\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}=\mathrm{x}\:\Rightarrow\mathrm{K}^{'} \:=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{K}\:=\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:−\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\lambda=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\lambda\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{so}<\mathrm{ution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{K}\left(\mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}=\left\{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\lambda\right\}\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}=\mathrm{1}+\frac{\lambda\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}\:\:\:\mathrm{x}<\mathrm{1}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{y}^{'} \:+\mathrm{xy}\:=\mathrm{x}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{follow}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{way}…. \\ $$$$ \\ $$

Commented by SANOGO last updated on 02/Sep/21

$${merci}\:{bien}\:{le}\:{doyen} \\ $$

Commented by Mathspace last updated on 02/Sep/21

$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$

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