Question Number 14486 by FilupS last updated on 01/Jun/17
$${S}=\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+… \\ $$$$\therefore{S}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} {n} \\ $$$$\: \\ $$$${S}=\underset{{s}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} {n}^{\mathrm{1}−{s}} \right) \\ $$$$\: \\ $$$$\mathrm{Prove}\:{S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$