Question Number 146307 by mnjuly1970 last updated on 12/Jul/21
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{S}_{{n}} \:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\:\mathrm{1}}{\left.{k}\:\left({k}+\mathrm{2}\right){k}+\mathrm{4}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{lim}_{\:{n}\rightarrow\infty} \:\left(\:\:\mathrm{S}_{\:{n}} \:\right)\:=\:? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 12/Jul/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{4}\right)} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}+\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}},\mathrm{b}=\frac{\mathrm{1}}{\left(−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}\right)}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}},\mathrm{c}=\frac{\mathrm{1}}{\left(−\mathrm{4}\right)\left(−\mathrm{2}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{x}+\mathrm{4}\right)} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{k}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{4}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}=\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \:\:,\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{2}}=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{3}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}=\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{4}}=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{5}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}=\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}=\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{12}} \\ $$$$=\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{12}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{12}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{n}} +\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{4}} \right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{96}} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{logn}\:+\gamma\:+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)+\mathrm{log}\left(\mathrm{n}+\mathrm{4}\right)+\gamma\:+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{4}}\right)\right) \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{log}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)+\gamma\:+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right)\right)\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{96}} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \sim\mathrm{log}\left(\frac{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4n}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} }\right)\:\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{96}}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow\infty} \frac{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4n}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} }=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\smile\infty} \mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{96}}=\frac{\mathrm{36}−\mathrm{25}}{\mathrm{96}}=\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{96}} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 12/Jul/21
$$\:\:\:{thx}\:{mr}\:{max}… \\ $$