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Question Number 19658 by icyfalcon999 last updated on 14/Aug/17
=((sec x−1)/(sec x+1))  =((sec x+(1−1)−1)/(sec x+1))  =(((sec x+1)−2)/(sec x+1))  =((sec x+1)/(sec x+1))−(2/(sec x+1))  =1−(2/(sec x+1))  =1−2(sec x+1)^(−1)   (d/dx)(1−2(sec x+1)^(−1) )  =−2(−1(sec x+1)^(−2) )(sec x tan x)  =((2 sec x tan x)/((sec x+1)^2 ))
$$=\frac{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{1}−\mathrm{2}\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=−\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{sec}\:\mathrm{x}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}{\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$

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