Question Number 116427 by bemath last updated on 04/Oct/20
$$\:\int\:\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}−\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dx}\:=? \\ $$
Answered by john santu last updated on 04/Oct/20
$$\:\int\:\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{cos}\:{x}}\right)^{\mathrm{2}} {dx}\:=\:\int\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}}\:{dx} \\ $$$$=\:\int\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} {x}\:{dx}+\int\:\frac{\mathrm{2}{d}\left(\mathrm{cos}\:{x}\right)}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}}\:+\int\:\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {x}\:{dx} \\ $$$$=\:\int\mathrm{2}\:\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} {x}\:{dx}\:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{cos}\:{x}}\:−{x}\:+\:{c} \\ $$$$=\:\mathrm{2}\:\mathrm{tan}\:{x}\:+\:\mathrm{2sec}\:{x}\:−\:{x}\:+\:{c}\: \\ $$