Question Number 121014 by mathocean1 last updated on 04/Nov/20
$$\mathrm{show}\:\mathrm{by}\:\mathrm{recurrence}\:\mathrm{that} \\ $$$$\forall\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}\:, \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{b}^{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \ast\mathrm{b}+…+\mathrm{ab}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 04/Nov/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{by}\:\mathrm{recurence}\:\mathrm{that}\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +…+\mathrm{x}\:+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:\mathrm{real}\:\mathrm{n}\:\mathrm{natural}\:>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{n}=\mathrm{1}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{x}^{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}\right)\:\:\left(\mathrm{relation}\:\mathrm{true}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{suppose}\:\mathrm{P}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{true} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\:=\mathrm{x}\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\:=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{x}−\mathrm{1}\:=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +…+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{x}−\mathrm{1} \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +…+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\:\mathrm{so}\:\:\mathrm{P}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{true} \\ $$$$\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}\neq\mathrm{0}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\:=\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }+…..+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{b}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}} }=\left(\frac{\mathrm{a}−\mathrm{b}}{\mathrm{b}}\right)\left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }+….+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{b}^{\mathrm{n}} \:=\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }+….+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{b}^{\mathrm{n}} \:=\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{b}+…..\mathrm{ab}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:+\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$