Question Number 184918 by Mastermind last updated on 14/Jan/23
$$\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\: \\ $$$$\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+…\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\mathrm{not}\:\mathrm{convergent} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Hi} \\ $$
Commented by Frix last updated on 14/Jan/23
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{missing}? \\ $$
Commented by Mastermind last updated on 14/Jan/23
$$\mathrm{Yes},\:\mathrm{it}\:\mathrm{was}\:\mathrm{a}\:\mathrm{mistake}\:…\:\mathrm{it}\:\mathrm{has}\:\mathrm{been}\: \\ $$$$\mathrm{corrected}\:\mathrm{tho}. \\ $$
Answered by Frix last updated on 14/Jan/23
$$\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{j}}\:=\underset{{p}\:\mathrm{is}\:\mathrm{prime}\:} {\prod}\left(\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{p}^{{k}} }\right)\:=\infty \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{sum}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+…\:\mathrm{is}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{same}\:\mathrm{as}\:\mathrm{the}\:\mathrm{product}\:\mathrm{of}\:\mathrm{these}\:\mathrm{sums}: \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }+…\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} }+…\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{{n}} }+…\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}^{{n}} }+…\right)…\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{p}}+…+\frac{\mathrm{1}}{{p}^{{n}} }+…\right)… \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{know}\:\mathrm{each}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sums}\:\mathrm{is}\:>\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{we} \\ $$$$\mathrm{know}\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{primes}\:\mathrm{is}\:\infty\:… \\ $$
Answered by prakash jain last updated on 14/Jan/23
$$\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\right)+… \\ $$$$>\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\right)+.. \\ $$$$=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\left({infinite}\:{times}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{series}\:\mathrm{is}\:\mathrm{divergent} \\ $$