Question Number 147539 by alcohol last updated on 21/Jul/21
$${show}\:{that} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }{dx}\:\leqslant\:\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}{dx}\:\leqslant\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$
Answered by puissant last updated on 21/Jul/21
$$\forall\:\mathrm{x}\in\left[\mathrm{1};\mathrm{2}\right], \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \leqslant\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\leqslant\mathrm{2x}^{\mathrm{5}} \:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{5}} }\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }\mathrm{dx}\leqslant\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\leqslant\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }.. \\ $$
Answered by puissant last updated on 21/Jul/21