Question Number 31016 by 78987 last updated on 02/Mar/18
$${show}\:{that}\:\mathrm{1}/\mathrm{cosec}{x}−{cotx}+\mathrm{1}/\mathrm{cosec}{x}+\mathrm{cot}{x}=\mathrm{2cosec}{x} \\ $$
Answered by iv@0uja last updated on 02/Mar/18
$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cosec}\:{x}−\mathrm{cot}\:{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cosec}\:{x}+\mathrm{cot}\:{x}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:{x}}−\frac{\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}}}+\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:{x}}+\frac{\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}}+\frac{\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:{x}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:{x}\right)\mathrm{sin}\:{x}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {x}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2sin}\:{x}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {x}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{sin}\:{x}}=\mathrm{2cosec}\:{x} \\ $$