Question Number 34422 by math1967 last updated on 06/May/18
$${Show}\:{that} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\:}\:+\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−{x}\:}}\:=\mathrm{1}\:{when}\:{x}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}\:}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by Rio Mike last updated on 06/May/18
$$\frac{\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}}\:\:+\:\:\:\frac{\mathrm{1}−\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}} \\ $$$$\frac{\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\:\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}}\:\:\:+\:\:\:\frac{\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\right)}\:+\:\:\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\sqrt{\left.\mathrm{1}−\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\right)}\right)} \\ $$$$\:\frac{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\right)}{−\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\:\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:}\:−\:\sqrt{\mathrm{3}\:}\:−\sqrt{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\right)}\: \\ $$$$\frac{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:+\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\:−\mathrm{3}\:+\:\sqrt{\mathrm{9}+\frac{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\:+\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:+\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}−\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\:−\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{9}}\:−\:\frac{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:}\:−\:\mathrm{6}\:+\:\sqrt{\mathrm{9}+\frac{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:}\:+\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}−\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\:−\:\sqrt{\mathrm{9}}\:−\:\frac{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\approx\:\mathrm{1} \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 06/May/18
$${first}\:{find}\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\:{and}\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\: \\ $$$$\mathrm{1}+{x}=\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\:\:{and}\:\mathrm{1}−{x}=\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\:\:{and}\:\mathrm{1}−{x}=\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\:\:\:{and}=\frac{\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$=\frac{\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:}\:{and}=\frac{\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${so}\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\:\:}\:{and}\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}+\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{6}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{3}+\mathrm{6}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{3}}{\mathrm{9}−\mathrm{3}} \\ $$$$=\mathrm{6}/\mathrm{6}=\mathrm{1}\:{Ans} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 06/May/18
$$\mathcal{F}{ine}! \\ $$