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show-that-a-r-1-n-r-3-n-C-r-n-2-n-3-2-n-3-b-n-C-0-n-C-1-n-C-1-n-C-2-n-C-n-1-n-C-n-2n-n-1-n-1-

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Question Number 54647 by gunawan last updated on 08/Feb/19
show that a. Σ_(r=1) ^(n) r^3 ._n C_r =n^2 (n+3).2^(n−3) b. _n C_0 ._n C_1 +_n C_1 ._n C_2 +...+_n C_(n−1) ._n C_n =(((2n)!)/((n−1)!.(n+1)!))
$$\mathrm{show}\:\mathrm{that} \\ $$$${a}.\:\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\Sigma}}\:{r}^{\mathrm{3}} ._{{n}} {C}_{{r}} ={n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{3}\right).\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} \\ $$$${b}.\:_{{n}} {C}_{\mathrm{0}} ._{{n}} {C}_{\mathrm{1}} +_{{n}} {C}_{\mathrm{1}} ._{{n}} {C}_{\mathrm{2}} +…+_{{n}} {C}_{{n}−\mathrm{1}} ._{{n}} {C}_{{n}} =\frac{\left(\mathrm{2}{n}\right)!}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!.\left({n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 08/Feb/19
let s(x)=Σ_(k=0) ^n C_n ^k x^k =(x+1)^n ⇒ s^′ (x)=Σ_(k=1) ^n k C_n ^k x^(k−1) =n(x+1)^(n−1) ⇒ Σ_(k=1) ^n k C_n ^k x^k =nx(x+1)^(n−1) ⇒ Σ_(k=1) ^n k^2 C_n ^k x^(k−1) =n(x+1)^(n−1) +nx(n−1)(x+1)^(n−2) ⇒ Σ_(k=1) ^n k^2 C_n ^k x^k =nx(x+1)^(n−1) +n(n−1)x^2 (x+1)^(n−2) ⇒ Σ_(k=1) ^n k^3 C_n ^k x^(k−1) =n(x+1)^(n−1 ) +n(n−1)x(x+1)^(n−2) +2n(n−1)x(x+1)^(n−2) +n(n−1)(n−2)x^2 (x+1)^(n−3) ⇒ Σ_(k=1) ^n k^3 C_n ^k x^k =nx(x+1)^(n−1) +n(n−1)x^2 (x+1)^(n−2) +2n(n−1)x^2 (x+1)^(n−2) +n(n−1)(n−2)x^3 (x+1)^(n−3) for x=1 we get Σ_(k=1) ^n k^3 C_n ^k = n2^(n−1) +n(n−1)2^(n−2) +2n(n−1) 2^(n−2) +n(n−1)(n−2)2^(n−3) =n 2^(n−1) +(n^2 −n +2n^2 −2n)2^(n−2) +n(n−1)(n−2)2^(n−3) =n 2^(n−1) +(3n^2 −3n)2^(n−2) +n(n−1)(n−2) 2^(n−3) =n 2^(n−1) +(6n^2 −6n)2^(n−3) +( n^2 −n)(n−2)2^(n−3) =n 2^(n−1) +(6n^2 −6n +n^3 −3n^2 +2n)2^(n−3) =n2^(n−1) +(n^3 +3n^2 −4n)2^(n−3) =4n 2^(n−3) +(n^3 +3n^(2 ) −4n)2^(n−3) =(n^3 +3n^2 )2^(n−3) =n^2 (n+3)2^(n−3) and the result is proved .
$${let}\:{s}\left({x}\right)=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}} \:\:=\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}} \:\Rightarrow\:{s}^{'} \left({x}\right)=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{k}\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}−\mathrm{1}} \:={n}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\:{k}\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}} \:={nx}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow\:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{k}^{\mathrm{2}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}−\mathrm{1}} ={n}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \:+{nx}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{k}^{\mathrm{2}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}} \:={nx}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \:+{n}\left({n}−\mathrm{1}\right){x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{k}^{\mathrm{3}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} {x}^{{k}−\mathrm{1}} \:={n}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}\:} +{n}\left({n}−\mathrm{1}\right){x}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} \:\:+\mathrm{2}{n}\left({n}−\mathrm{1}\right){x}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$+{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{2}\right){x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{3}} \:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{k}^{\mathrm{3}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}} \:={nx}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \:+{n}\left({n}−\mathrm{1}\right){x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} \:\:+\mathrm{2}{n}\left({n}−\mathrm{1}\right){x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$+{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{2}\right){x}^{\mathrm{3}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{3}} \:\:\:{for}\:{x}=\mathrm{1}\:{we}\:{get} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{k}^{\mathrm{3}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:=\:{n}\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:+{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \:+{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} \\ $$$$={n}\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:+\left({n}^{\mathrm{2}} −{n}\:+\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{n}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \:\:+{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} \\ $$$$={n}\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:+\left(\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{3}{n}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \:+{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{2}\right)\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} \\ $$$$={n}\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:+\left(\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{6}{n}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} \:+\left(\:{n}^{\mathrm{2}} −{n}\right)\left({n}−\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} \\ $$$$={n}\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:+\left(\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{n}\:+{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{n}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} \\ $$$$={n}\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:+\left({n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{4}{n}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} \\ $$$$=\mathrm{4}{n}\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} \:+\left({n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}\:} −\mathrm{4}{n}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} \:=\left({n}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} \:\:={n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{3}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} \\ $$$${and}\:{the}\:{result}\:{is}\:{proved}\:. \\ $$$$ \\ $$
Commented by gunawan last updated on 09/Feb/19
Wow Thank you very much Sir
$$\mathrm{Wow}\:\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir} \\ $$
Commented by Abdo msup. last updated on 09/Feb/19
you are welcome sir.
$${you}\:{are}\:{welcome}\:{sir}. \\ $$

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