Question Number 186445 by myint last updated on 04/Feb/23
$$\mathrm{Show}\:\:\mathrm{that}\:\:\mathrm{the}\:\:\mathrm{function}\:\:\mathrm{y}\:=\:\:\mid\:\mathrm{x}\:−\mathrm{5}\:\mid\:\:\mathrm{has}\:\:\mathrm{no}\:\:\mathrm{derivative}\:\:\mathrm{at}\:\:\mathrm{x}\:\:=\:\mathrm{5}. \\ $$
Answered by ARUNG_Brandon_MBU last updated on 04/Feb/23
$${f}\:'\left(\mathrm{5}\right)=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{5}} {\mathrm{lim}}\frac{{f}\left({x}\right)−{f}\left(\mathrm{5}\right)}{{x}−\mathrm{5}}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{5}} {\mathrm{lim}}\frac{\mid{x}−\mathrm{5}\mid}{{x}−\mathrm{5}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{5}^{>} } {\mathrm{lim}}\frac{\mid{x}−\mathrm{5}\mid}{{x}−\mathrm{5}}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{5}^{>} } {\mathrm{lim}}\frac{{x}−\mathrm{5}}{{x}−\mathrm{5}}=\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{5}^{<} } {\mathrm{lim}}\frac{\mid{x}−\mathrm{5}\mid}{{x}−\mathrm{5}}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{5}^{<} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{5}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}=−\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{5}^{>} } {\mathrm{lim}}\frac{\mid{x}−\mathrm{5}\mid}{{x}−\mathrm{5}}\:\neq\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{5}^{<} } {\mathrm{lim}}\frac{\mid{x}−\mathrm{5}\mid}{{x}−\mathrm{5}} \\ $$$$\:\mathrm{hence}\:{f}\:'\left(\mathrm{5}\right)\:\mathrm{does}\:\mathrm{not}\:\mathrm{exist}. \\ $$