Question Number 63674 by Tawa1 last updated on 07/Jul/19
$$\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\:\mathrm{122}^{\mathrm{n}} \:−\:\mathrm{102}^{\mathrm{n}} \:−\:\mathrm{21}^{\mathrm{n}} \:\:\mathrm{is}\:\mathrm{always}\:\mathrm{one}\:\mathrm{less}\:\mathrm{than}\:\mathrm{a} \\ $$$$\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{2020}.\:\:\mathrm{For}\:\mathrm{every}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{integer}\:\:\mathrm{n}. \\ $$
Commented by Prithwish sen last updated on 07/Jul/19
$$\left(\mathrm{101}+\mathrm{21}\right)^{\mathrm{n}} \:−\left(\mathrm{101}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} −\mathrm{21}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\left\{\:\mathrm{101}^{\mathrm{n}} +\mathrm{n101}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{21}+……+\mathrm{n101}.\left(\mathrm{21}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{21}^{\mathrm{n}} \right\}−\left\{\mathrm{101}^{\mathrm{n}} +\mathrm{n101}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +…..+\mathrm{n101}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{21}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\:\mathrm{n101}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{21}−\mathrm{1}\right)+\:……..+\mathrm{n101}\left(\mathrm{21}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)\:−\mathrm{1} \\ $$$$=\:\mathrm{101}×\mathrm{20}\left\{\mathrm{101}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +…….\mathrm{n}\left(\mathrm{21}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{21}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +…+\mathrm{1}\right)\right\}\:−\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{2020}×\mathrm{m}\:−\mathrm{1}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{m}}=\boldsymbol{\mathrm{integer}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{which}}\:\boldsymbol{\mathrm{is}}\:\boldsymbol{\mathrm{always}}\:\mathrm{1}\:\boldsymbol{\mathrm{less}}\:\boldsymbol{\mathrm{than}}\:\boldsymbol{\mathrm{multiple}}\:\boldsymbol{\mathrm{of}}\:\mathrm{2020}\:.\:\boldsymbol{\mathrm{Proved}} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 07/Jul/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$