Question Number 82952 by TawaTawa1 last updated on 26/Feb/20
$$\mathrm{Show}\:\mathrm{that}:\:\:\:\:\:\:\mathrm{y}\:\:+\:\:\sqrt{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1}}\:\:\:\geqslant\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\mathrm{and}\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:<\:\:\mathrm{y}\:\:−\:\:\sqrt{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1}}\:\:\leqslant\:\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{if}\:\:\mathrm{y}\:\:\geqslant\:\mathrm{1} \\ $$
Answered by MJS last updated on 26/Feb/20
$${t}^{\mathrm{2}} ={y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$${y}=\pm\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\wedge{y}\geqslant\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{y}=\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$${y}+\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mid{t}\mid\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{minimum}\:\mathrm{of}\:\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{1}\:\mathrm{at}\:{t}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{minimum}\:\mathrm{of}\:\mid{t}\mid\:\mathrm{is}\:\mathrm{0}\:\mathrm{at}\:{t}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mid{t}\mid\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{0}<{y}−\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{0}<\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} }\leqslant\mathrm{1} \\ $$$$\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} }<\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\leqslant\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1} \\ $$$$\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} }<\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{sides}\:>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{we}\:\mathrm{are}\:\mathrm{allowed}\:\mathrm{to}\:\mathrm{square} \\ $$$${t}^{\mathrm{2}} <{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\leqslant{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\mathrm{2}\mid{t}\mid\:\mathrm{always}\:\mathrm{true} \\ $$
Commented by TawaTawa1 last updated on 26/Feb/20
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{appreciate}. \\ $$
Commented by TawaTawa1 last updated on 26/Feb/20
$$\mathrm{Sir},\:\mathrm{please}\:\:\mathrm{next}\:\mathrm{one}.\:\:\:\mathrm{Q82953}. \\ $$