Question Number 84163 by john santu last updated on 10/Mar/20
$$\int\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{50}{x}\right)\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{49}} \left({x}\right)\:{dx}\:? \\ $$
Answered by jagoll last updated on 10/Mar/20
$$\mathrm{sin}\:\mathrm{50x}\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{49x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:+\:\mathrm{cos}\:\mathrm{49x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$\int\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{49}} \mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{49x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}\:+ \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}\:\mathrm{49x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{50}\:} \mathrm{x}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}\:=\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{50}} \mathrm{x}\:\Rightarrow\:\mathrm{du}\:=\:\mathrm{50}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{49}} \mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{v}\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{49x}\:\Rightarrow\:\mathrm{dv}\:=\:\mathrm{49}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{49x}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{49}} \mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{49x}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{50}}\mathrm{v}\:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\:;\: \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{50}} \mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{49x}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{50}}\mathrm{u}\:\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}} \\ $$$$\mathrm{then}\: \\ $$$$\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{50}}\:\mathrm{v}\:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{50}}\:\mathrm{u}\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}\:\right)\:\mathrm{dx}\:=\: \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{50}}\:\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{u}.\mathrm{v}\right)}{\mathrm{dx}}\:×\:\mathrm{dx}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{50}}\:\mathrm{u}.\mathrm{v}\:+\:\mathrm{c} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{50}}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{49x}\right)\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{50}} \:\left(\mathrm{x}\right)\:+\:\mathrm{c}\: \\ $$$$ \\ $$
Commented by john santu last updated on 10/Mar/20
$${good}\:{sir} \\ $$
Commented by TANMAY PANACEA last updated on 10/Mar/20
$${pls}\:{check}…\frac{{dv}}{{dx}}=\mathrm{49}{cos}\mathrm{49}{x}\:\:{so}\:\boldsymbol{{cos}}\mathrm{49}\boldsymbol{{x}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{49}}\frac{\boldsymbol{{dv}}}{\boldsymbol{{dx}}} \\ $$$$\boldsymbol{{so}}\:\boldsymbol{{sin}}^{\mathrm{50}} \boldsymbol{{xcos}}\mathrm{49}\boldsymbol{{x}}=\boldsymbol{{u}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{49}}\frac{\boldsymbol{{dv}}}{\boldsymbol{{dx}}}\neq\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{50}}{u}\frac{{dv}}{{dx}} \\ $$$${pls}\:{check} \\ $$
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 10/Mar/20
$$\int\left({sin}\mathrm{49}{x}.{cosx}.{sin}^{\mathrm{49}} {x}+{co}\mathrm{49}{xsin}^{\mathrm{50}} {x}\right){dx} \\ $$$${I}_{\mathrm{1}} =\int{sin}\mathrm{49}{x}.{cosx}.{sin}^{\mathrm{49}} {xdx} \\ $$$${I}_{\mathrm{2}} =\int{cos}\mathrm{49}{xsin}^{\mathrm{50}} {xdx} \\ $$$${I}={I}_{\mathrm{1}} +{I}_{\mathrm{2}} \\ $$$${I}_{\mathrm{1}} ={sin}\mathrm{49}{x}\int{sin}^{\mathrm{49}} {xcosxdx}−\int\left[\frac{{d}\:{sin}\mathrm{49}{x}}{{dx}}\int{sin}^{\mathrm{49}} {xcosxdx}\right]{dx} \\ $$$$={sin}\mathrm{49}{x}.\frac{{sin}^{\mathrm{50}} {x}}{\mathrm{50}}−\int\mathrm{49}{cos}\mathrm{49}{x}.\frac{{sin}^{\mathrm{50}} {x}}{\mathrm{50}}{dx} \\ $$$$=\frac{{sin}\mathrm{49}{x}.{sin}^{\mathrm{50}} {x}}{\mathrm{50}}−\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{50}}{I}_{\mathrm{2}} \\ $$$${I}={I}_{\mathrm{1}} +{I}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:=\frac{{sin}\mathrm{49}{x}.{sin}^{\mathrm{50}} {x}}{\mathrm{50}}−\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{50}}{I}_{\mathrm{2}} +{I}_{\mathrm{2}} \\ $$$${I}=\frac{{sin}\mathrm{49}{x}.{sin}^{\mathrm{50}} {x}}{\mathrm{50}}+\frac{{I}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{50}} \\ $$$${wait}\:{pls} \\ $$$$ \\ $$