Question Number 153553 by mnjuly1970 last updated on 08/Sep/21
$$ \\ $$$$\:{sin}\left(\mathrm{9}\right)\:+\:{sin}\left(\mathrm{21}\right)+{sin}\left(\mathrm{39}\right)\overset{?} {=}\frac{\varphi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\:\:\varphi:=\:{golden}\:{ratio} \\ $$$$\:{m}.{n} \\ $$
Answered by bramlexs22 last updated on 08/Sep/21
$$\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{9}°\right)+\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{21}°\right)+\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{39}°\right)= \\ $$$$\:\mathrm{2sin}\:\mathrm{15}°\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°+\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{45}°−\mathrm{6}°\right)= \\ $$$$\:\mathrm{2sin}\:\left(\mathrm{45}°−\mathrm{30}°\right)\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{6}°= \\ $$$$\:\mathrm{2cos}\:\mathrm{6}°\left(\frac{\sqrt{\mathrm{6}}}{\mathrm{4}}−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{6}°\:= \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{6}°\:=\:\sqrt{\frac{\mathrm{6}+\mathrm{2}}{\mathrm{4}}}\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{6}°−\mathrm{330}°\right) \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{324}°=\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{270}°+\mathrm{54}°\right) \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}°\:=\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{36}° \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{18}°\right) \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{2}} \right)=\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{6}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{8}}\right)\right) \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\frac{\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{8}}\right)=\sqrt{\mathrm{2}}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\varphi=\frac{\varphi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\: \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 08/Sep/21
$$\mathrm{great}\:\mathrm{sir} \\ $$