Question Number 152551 by alisiao last updated on 29/Aug/21
$$\frac{{sin}\left({x}\right)+{sin}\left(\mathrm{2}{x}\right)+….+{sin}\left({nx}\right)}{{cos}\left({x}\right)+{cos}\left(\mathrm{2}{x}\right)+….+{cos}\left({nx}\right)}\:=\:? \\ $$
Answered by qaz last updated on 29/Aug/21
$$\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{C}}=\frac{\Im\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} +\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} +…+\mathrm{e}^{\mathrm{nix}} \right)}{\Re\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} +\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} +…+\mathrm{e}^{\mathrm{nix}} \right)} \\ $$$$=\frac{\Im\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{nix}} \right)}{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} }}{\Re\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{nix}} \right)}{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} }} \\ $$$$=\frac{\Im\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{nix}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} \right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} \right)}}{\Re\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{nix}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} \right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} \right)}} \\ $$$$=\frac{\Im\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{nix}} −\mathrm{1}\right)}{\Re\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{nix}} −\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\Im\left(\mathrm{e}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{\mathrm{nix}} +\mathrm{1}\right)}{\Re\left(\mathrm{e}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{\mathrm{nix}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{nx}}{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{nx}+\mathrm{1}} \\ $$