Question Number 148446 by puissant last updated on 28/Jul/21
$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\:\mathrm{et}\:\alpha\:\mathrm{4}\:\mathrm{nombres}\:\mathrm{rationnels} \\ $$$$\mathrm{telque}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\alpha}\:\mathrm{est}\:\mathrm{irrationnel}.. \\ $$$$\mathrm{Demontrer}\:\mathrm{que}\:: \\ $$$$\left(\mathrm{a}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\alpha}+\mathrm{b}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\alpha}=\mathrm{c}\right)\:\Rightarrow\:\left(\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}\right).. \\ $$
Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 28/Jul/21
$$\mathrm{Je}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{suis}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{mathematicien}\:\mathrm{mais} \\ $$$$\mathrm{selon}\:\mathrm{moi}\:\mathrm{cet}\:\mathrm{enonce}\:\mathrm{est}\:\mathrm{errone}.\:\mathrm{Il} \\ $$$$\mathrm{contient}\:\mathrm{une}\:\mathrm{contradiction}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Si}\:\mathrm{c}\:=\:{a}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\alpha}+{b}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\alpha}\:=\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\alpha}\left({a}+{b}\right) \\ $$$$\mathrm{alors}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\alpha}\:=\:\frac{{c}}{{a}+{b}}\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Par}\:\mathrm{hypothese},\:{a},{b}\:\mathrm{et}\:{c}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{rationnels}. \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{nombre}\:\frac{{c}}{{a}+{b}}\:\mathrm{dans}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{rationnel} \\ $$$$\mathrm{comme}\:\mathrm{quotient}\:\mathrm{de}\:\mathrm{nombres} \\ $$$$\mathrm{rationnels},\:\mathrm{ce}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{contredit}\:\mathrm{l}'\mathrm{enonce} \\ $$$$\mathrm{qui}\:\mathrm{veut}\:\mathrm{que}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\alpha}\:\mathrm{soit}\:\mathrm{irrationnel}. \\ $$
Commented by puissant last updated on 28/Jul/21
$$\mathrm{oui}\:\mathrm{monsieur}\:\mathrm{moi}\:\mathrm{egalement}\:\mathrm{j}'\mathrm{ai}\: \\ $$$$\mathrm{abouti}\:\mathrm{a}\:\mathrm{l}'\mathrm{absurdit}\acute {\mathrm{e}}… \\ $$