Soit-f-une-fonction-continu-sur-R-et-non-identiquement-nulle-x-x-R-f-x-x-f-x-x-2f-x-f-x-montrer-que-f-0-1-et-f-x-f-x-

Question Number 148483 by puissant last updated on 28/Jul/21

Soit f une fonction continu sur R

et non identiquement nulle,

\forall x, x^{'} \in R, f (x - x^{'}) + f (x + x^{'}) = 2 f (x) f (x^{'})

montrer que :

f (0) = 1 et f (x) = f (- x) . .

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 28/Jul/21

\forall x, x^{'} \in R, f (x - x^{'}) + f (x + x^{'}) = 2 f (x) f (x^{'})

∙ En particulier pour x = x^{'} = 0 :

f (0 - 0) + f (0 + 0) = 2 f (0) f (0)

2 f (0) = 2 f (0) f (0)

f (0) [f (0) - 1] = 0

Et donc f (0) = 0 ou f (0) = 1 (1)

∙ \forall x \in R et pour x^{'} = 0 :

f (x - 0) + f (x + 0) = 2 f (x) f (0)

2 f (x) = 2 f (x) f (0) (2)

Si, d^{'} apres (1), f (0) = 0

alors (2) : alors \forall x \in R, f (x) = 0

Mais ca n^{'} est pas possible car on

cherche des fonctions f non

indentiquement nulles .

Et donc, forcement, f (0) = 1 .

\forall x, x^{'} \in R, f (x - x^{'}) + f (x + x^{'}) = 2 f (x) f (x^{'})

∙ \forall x^{'} \in R et pour x = 0 :

f (0 - x^{'}) + f (0 + x^{'}) = 2 f (0) f (x^{'})

f (- x^{'}) + f (x^{'}) = 2 \times 1 \times f (x^{'})

f (- x^{'}) = f (x^{'}) .

On a bien \forall x \in R, f (- x) = f (x)

Les fonctions solutions du probleme

sont donc des fonctions paires qui

prennent la valeur 1 en 0 .

Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 28/Jul/21

Remarque :

Ce n^{'} est pas demande ici mais en

trigo, on se souvient que :

\cos (a) \cos (b) = \frac{1}{2} [\cos (a - b) + \cos (a + b)] .

La fonction cosinus, et plus

generalement la famille de fonctions

x ⇝ \cos (ω x) sont solutions du

probleme .