Soit-p-End-E-on-pose-q-id-E-p-a-montrer-que-p-est-un-projecteur-si-et-seulement-si-q-est-un-projecteur-b-on-suppose-que-p-est-un-projecteur-et-on-considere-L-f-End-E-u-End-E-f-u-p-et-M-g

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Question Number 146001 by puissant last updated on 10/Jul/21

$$\mathrm{Soit}\mathrm{p}\in \mathrm{End}\left(\mathrm{E}\right).\mathrm{on}\mathrm{pose}\mathrm{q}={\mathrm{id}}_{\mathrm{E}}-\mathrm{p}$$$$\mathrm{a})\mathrm{montrer}\mathrm{que}\mathrm{p}\mathrm{est}\mathrm{un}\mathrm{projecteur}\mathrm{si}\mathrm{et}$$$$\mathrm{seulement}\mathrm{si}\mathrm{q}\mathrm{est}\mathrm{un}\mathrm{projecteur}..$$$$\mathrm{b})\mathrm{on}\mathrm{suppose}\mathrm{que}\mathrm{p}\mathrm{est}\mathrm{un}\mathrm{projecteur}\mathrm{et}\mathrm{on}$$$$\mathrm{considere}\mathrm{L}=\{\mathrm{f}\in \mathrm{End}\left(\mathrm{E}\right)/\mathrm{\exists }\mathrm{u}\in \mathrm{End}\left(\mathrm{E}\right),\mathrm{f}=\mathrm{u}\circ \mathrm{p}\}$$$$\mathrm{et}\mathrm{M}=\{\mathrm{g}\in \mathrm{End}\left(\mathrm{E}\right)/\mathrm{\exists }\mathrm{v}\in \mathrm{End}\left(\mathrm{E}\right),\mathrm{g}=\mathrm{v}\circ \mathrm{q}\}.$$$$\mathrm{montrer}\mathrm{que}\mathrm{L}\mathrm{et}\mathrm{M}\mathrm{sont}\mathrm{des}\mathrm{sous}\mathrm{espaces}$$$$\mathrm{vectoriels}\mathrm{supplementaires}\mathrm{de}\mathrm{End}\left(\mathrm{E}\right)..$$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 10/Jul/21

$$\mathrm{a})$$$$\mathrm{p}\mathrm{est}\mathrm{un}\mathrm{projecteur}\iff {\mathrm{p}}^2=\mathrm{p}$$$$\mathrm{dans}\mathrm{ce}\mathrm{cas}$$$${\mathrm{q}}^2=({\mathrm{id}}_{\mathrm{E}}-\mathrm{p})\mathrm{o}({\mathrm{id}}_{\mathrm{E}}-\mathrm{p})$$$${\mathrm{q}}^2={\mathrm{id}}_{\mathrm{E}}{\mathrm{oid}}_{\mathrm{E}}-{\mathrm{poid}}_{\mathrm{E}}-{\mathrm{id}}_{\mathrm{E}}\mathrm{op}+\mathrm{pop}$$$${\mathrm{q}}^2={\mathrm{id}}_{\mathrm{E}}-\mathrm{p}-\mathrm{p}+{\mathrm{p}}^2$$$${\mathrm{q}}^2={\mathrm{id}}_{\mathrm{E}}-2\mathrm{p}+{\mathrm{p}}^2$$$${\mathrm{q}}^2={\mathrm{id}}_{\mathrm{E}}-{2\mathrm{p}}^2+{\mathrm{p}}^2$$$${\mathrm{q}}^2={\mathrm{id}}_{\mathrm{E}}-{\mathrm{p}}^2$$$${\mathrm{q}}^2={\mathrm{id}}_{\mathrm{E}}-\mathrm{p}=\mathrm{q}$$$${\mathrm{p}}^2=\mathrm{p}\iff {\mathrm{q}}^2=\mathrm{q}:\mathrm{CQFD}$$

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