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Soit-U-n-n-1-n-2-5n-5-avec-n-N-Montrer-par-la-definition-que-U-n-converge-vers-0-




Question Number 163137 by mathocean1 last updated on 04/Jan/22
Soit U_n =((n−1)/(n^2 −5n+5)) avec n ∈ N.  Montrer par la definition que U_n    converge vers 0.
$${Soit}\:{U}_{{n}} =\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{n}+\mathrm{5}}\:{avec}\:{n}\:\in\:\mathbb{N}. \\ $$$${Montrer}\:{par}\:{la}\:{definition}\:{que}\:{U}_{{n}} \: \\ $$$${converge}\:{vers}\:\mathrm{0}. \\ $$
Answered by puissant last updated on 04/Jan/22
Soit ε>0, cherchons N_ε ∈N / ∀n∈N,  n>N_ε   ⇒ ∣U_n ∣<ε.  en effet, on a:  ∣U_n ∣=∣((n−1)/(n^2 −5n+5))∣≥∣(n/(n^2 −5n+5))∣≥∣(n/n^2 )∣  n>N_ε  ⇒ (1/n)<ε ⇒ n>(1/ε).  prendre N_ε = E((1/ε))+1.
$${Soit}\:\varepsilon>\mathrm{0},\:{cherchons}\:{N}_{\varepsilon} \in\mathbb{N}\:/\:\forall{n}\in\mathbb{N}, \\ $$$${n}>{N}_{\varepsilon} \:\:\Rightarrow\:\mid{U}_{{n}} \mid<\varepsilon. \\ $$$${en}\:{effet},\:{on}\:{a}: \\ $$$$\mid{U}_{{n}} \mid=\mid\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{n}+\mathrm{5}}\mid\geqslant\mid\frac{{n}}{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{n}+\mathrm{5}}\mid\geqslant\mid\frac{{n}}{{n}^{\mathrm{2}} }\mid \\ $$$${n}>{N}_{\varepsilon} \:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}<\varepsilon\:\Rightarrow\:{n}>\frac{\mathrm{1}}{\varepsilon}. \\ $$$${prendre}\:{N}_{\varepsilon} =\:{E}\left(\frac{\mathrm{1}}{\varepsilon}\right)+\mathrm{1}. \\ $$
Commented by mathocean1 last updated on 10/Jan/22
thanks.
$${thanks}. \\ $$

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