Question Number 145442 by ArielVyny last updated on 04/Jul/21
$${soit}\:{z}\in\mathbb{C}\:{montrer}\:{que}\:{cos}\left({z}\right)\:{et}\:{sin}\:\left({z}\right) \\ $$$${ne}\:{sont}\:{pas}\:{bornees} \\ $$$${que}\:{vaut}\:{sin}^{\mathrm{2}} \left({z}\right)+{cos}^{\mathrm{2}} \left({z}\right)=?? \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 05/Jul/21
$$\mathrm{cos}\left({iy}\right)\:=\:\frac{{e}^{{i}\left({iy}\right)} +{e}^{−{i}\left({iy}\right)} }{\mathrm{2}}\:=\:\frac{{e}^{−{y}} +{e}^{{y}} }{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{ch}{y} \\ $$$$\mathrm{sin}\left({iy}\right)\:=\:\frac{{e}^{{i}\left({iy}\right)} −{e}^{−{i}\left({iy}\right)} }{\mathrm{2}{i}}\:=\:\frac{{e}^{−{y}} −{e}^{{y}} }{\mathrm{2}{i}}\:=\:{i}\mathrm{sh}{y} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{cos}{z}\:=\:\mathrm{cos}\left({x}+{iy}\right) \\ $$$$\mathrm{cos}{z}\:=\:\mathrm{cos}{x}\mathrm{cos}\left({iy}\right)−\mathrm{sin}{x}\mathrm{sin}\left({iy}\right) \\ $$$$\mathrm{cos}{z}\:=\:\mathrm{cos}{x}\mathrm{ch}{y}−{i}\mathrm{sin}{x}\mathrm{sh}{y} \\ $$$$\mathrm{cos}{z}\:\mathrm{non}\:\mathrm{borne}\:\mathrm{a}\:\mathrm{cause}\:\mathrm{de}\:\mathrm{ch}{y}\:\mathrm{et}\:\mathrm{sh}{y} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{sin}{z}\:=\:\mathrm{sin}\left({x}+{iy}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}{z}\:=\:\mathrm{sin}{x}\mathrm{cos}\left({iy}\right)+\mathrm{cos}{x}\mathrm{sin}\left({iy}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}{z}\:=\:\mathrm{sin}{x}\mathrm{ch}{y}+{i}\mathrm{cos}{x}\mathrm{sh}{y} \\ $$$$\mathrm{sin}{z}\:\mathrm{non}\:\mathrm{borne}\:\mathrm{a}\:\mathrm{cause}\:\mathrm{de}\:\mathrm{ch}{y}\:\mathrm{et}\:\mathrm{sh}{y} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {z}\:=\:\left(\mathrm{cos}{x}\mathrm{ch}{y}−{i}\mathrm{sin}{x}\mathrm{sh}{y}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {z}\:=\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {x}\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} {y}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {x}\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} {y} \\ $$$$−\mathrm{2}{i}\mathrm{cos}{x}\mathrm{sin}{x}\mathrm{ch}{y}\mathrm{sh}{y} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {z}\:=\:\left(\mathrm{sin}{x}\mathrm{ch}{y}+{i}\mathrm{cos}{x}\mathrm{sh}{y}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {z}\:=\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {x}\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} {y}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {x}\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} {y} \\ $$$$+\mathrm{2}{i}\mathrm{cos}{x}\mathrm{sin}{x}\mathrm{ch}{y}\mathrm{sh}{y} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {z}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {z}\:=\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {x}\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} {y}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {x}\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} {y} \\ $$$$+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {x}\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} {y}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {x}\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} {y} \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {z}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {z}\:=\:\left(\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} {y}−\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} {y}\right)\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {x}\right) \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {z}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {z}\:=\:\mathrm{1}×\mathrm{1}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{retrouve}\:\mathrm{la}\:\mathrm{meme}\:\mathrm{relation} \\ $$$$\mathrm{fondamentale}\:\mathrm{que}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{les}\:\mathrm{reels}. \\ $$