Question Number 33200 by pieroo last updated on 12/Apr/18
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{2}^{\mathrm{3n}+\mathrm{2}} \:−\mathrm{7}×\mathrm{2}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} \:−\mathrm{31}×\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:−\mathrm{8}=\mathrm{0},\:\mathrm{n}\in\boldsymbol{\mathrm{R}}. \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{need}\:\mathrm{some}\:\mathrm{help}\:\mathrm{with}\:\mathrm{this} \\ $$
Answered by MJS last updated on 12/Apr/18
$$\mathrm{2}^{\mathrm{3}{n}+\mathrm{2}} =\mathrm{4}×\mathrm{8}^{{n}} =\mathrm{4}×\left(\mathrm{2}^{{n}} \right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$−\mathrm{7}×\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}} =−\mathrm{28}×\mathrm{4}^{{n}} =−\mathrm{28}×\left(\mathrm{2}^{{n}} \right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${x}=\mathrm{2}^{{n}} \\ $$$$\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{28}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{31}{x}−\mathrm{8}=\mathrm{0} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{2}} {x}_{\mathrm{3}} =−\mathrm{8}\:\Rightarrow\:\mathrm{try}\:\pm\mathrm{1};\:\pm\mathrm{2};\:\pm\mathrm{4};\:\pm\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{8} \\ $$$$\frac{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{28}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{31}{x}−\mathrm{8}}{{x}−\mathrm{8}}=\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}_{\mathrm{2}} ={x}_{\mathrm{3}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x}=\mathrm{8}\:\Rightarrow\:\mathrm{2}^{{n}} =\mathrm{8}\:\Rightarrow\:{n}=\mathrm{3} \\ $$$${x}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\mathrm{2}^{{n}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{in}\:\mathbb{R} \\ $$
Commented by pieroo last updated on 13/Apr/18
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{boss} \\ $$