Question Number 60695 by maxmathsup by imad last updated on 24/May/19
$${solve}\:\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }{y}^{''} \:\:\:\:−\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right){y}^{'} \:={x}^{\mathrm{2}} \:{e}^{−{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 27/May/19
$${let}\:{y}^{'} \:={z}\:\:{so}\:\left({e}\right)\Leftrightarrow\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }{z}^{'} \:−\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right){z}\:={x}^{\mathrm{2}} \:{e}^{−{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left({he}\right)\:\rightarrow\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }{z}^{'} \:−\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right){z}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }{z}^{'} \:=\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right){z}\:\Rightarrow\frac{{z}^{'} }{{z}}\:=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}}\:\Rightarrow \\ $$$${ln}\mid{z}\mid\:=\int\:\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}}\:{dx}+{c}\:\:=\mathrm{2}\:\int\:\:\frac{{x}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}}\:+\:\int\:\:\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}}\:+{c} \\ $$$$=\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}\:\:+\int\:\:\:\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}}\:{dx} \\ $$$$\int\:\:\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}}\:{dx}\:=_{{x}=\sqrt{\mathrm{3}}{u}} \:\:\:\:\int\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{du}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }}\:={ln}\left({u}\:+\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }\right)\:+{c}_{\mathrm{0}} \\ $$$$={ln}\left(\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\:}\right)\:+{c}_{\mathrm{0}} \:\Rightarrow \\ $$$${ln}\mid{z}\mid\:=\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}\:+{ln}\left(\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}}\right)\:+{c}\:\Rightarrow \\ $$$${z}\left({x}\right)\:={k}\:\left(\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}}\right)\:{e}^{\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}} \:\:\:\:\:\:{mvc}\:\:{method}\:{give}\: \\ $$$${z}^{'} \left({x}\right)\:={K}^{'} \left(\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}}\right){e}^{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}}} \:\:\:+{K}\left\{\left(\:\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\frac{\frac{\mathrm{2}{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}}}\right){e}^{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}}} \right. \\ $$$$\left.+\left(\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}}\right)\:\left(\mathrm{2}\:\frac{\mathrm{2}{x}}{\mathrm{3}}\right)\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}}}\:{e}^{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}}} \right\} \\ $$$$={K}^{'} \left(\frac{{x}+\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:{e}^{\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }} \:+{K}\:\left\{\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }}\right\}\:{e}^{\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$+\frac{\mathrm{4}{x}}{\mathrm{3}}\left(\:\frac{{x}+\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }}\:{e}^{\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }} \:\:\:\:\:\:….{be}\:{continued}…. \\ $$