Question Number 13152 by tawa tawa last updated on 15/May/17
$$\mathrm{Solve}:\:\:\mathrm{5}^{\mathrm{log}\left(\mathrm{x}\right)} \:+\:\mathrm{logx}^{\mathrm{5}} \:=\:\mathrm{25} \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 16/May/17
$$\mathrm{log}\:{x}={t} \\ $$$$\mathrm{5}^{{t}} +\mathrm{5}{t}=\mathrm{25} \\ $$$$\mathrm{5}^{{t}} =\mathrm{5}\left(\mathrm{5}−{t}\right) \\ $$$$\mathrm{5}^{{t}−\mathrm{5}} =\frac{\mathrm{5}−{t}}{\mathrm{625}} \\ $$$${e}^{\left({t}−\mathrm{5}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{5}} =\frac{\mathrm{5}−{t}}{\mathrm{625}} \\ $$$$\left(\mathrm{5}−{t}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{5}{e}^{\left({t}−\mathrm{5}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{5}} =\mathrm{625}×\mathrm{ln}\:\mathrm{5} \\ $$$$\left(\mathrm{5}−{t}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{5}={W}\left(\mathrm{625}×\mathrm{ln}\:\mathrm{5}\right) \\ $$$${t}=\mathrm{5}−\frac{{W}\left(\mathrm{625}×\mathrm{ln}\:\mathrm{5}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{5}}=\mathrm{log}\:{x} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{10}^{\mathrm{5}−\frac{{W}\left(\mathrm{625}×\mathrm{ln}\:\mathrm{5}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{5}}} \approx\mathrm{10}^{\mathrm{5}−\frac{\mathrm{5}.\mathrm{254544}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{5}}} \approx\mathrm{54}.\mathrm{346} \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 15/May/17
$$\mathrm{Wow},\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$