solve-at-0-pi-cos-cos-2-cos-3-0-

Question Number 33116 by abdo imad last updated on 10/Apr/18

$${solve}\:{at}\:\left[\mathrm{0},\pi\right]\:\:{cos}\alpha\:+{cos}\left(\mathrm{2}\alpha\right)\:+{cos}\left(\mathrm{3}\alpha\right)=\mathrm{0} \\ $$

Answered by MJS last updated on 10/Apr/18

$$\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\alpha=\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \alpha−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{3}\alpha=\mathrm{4cos}^{\mathrm{3}} \alpha−\mathrm{3cos}\:\alpha \\ $$$$\mathrm{cos}\:\alpha+\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \alpha−\mathrm{1}+\mathrm{4cos}^{\mathrm{3}} \alpha−\mathrm{3cos}\:\alpha=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{4cos}^{\mathrm{3}} \alpha+\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \alpha−\mathrm{2cos}\:\alpha−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \alpha+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \alpha−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\alpha−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{trying}\:\mathrm{cos}\:\alpha=\pm\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}};\:\pm\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\mathrm{cos}\:\alpha\right)_{\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\alpha_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \alpha+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \alpha−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\alpha−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}{\mathrm{cos}\:\alpha+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \alpha−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{cos}\:\alpha\right)_{\mathrm{2}} =−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\alpha_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{4}} \\ $$$$\left(\mathrm{cos}\:\alpha\right)_{\mathrm{3}} =\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\alpha_{\mathrm{3}} =\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$

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