Question Number 95212 by mathmax by abdo last updated on 24/May/20
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{by}\:\mathrm{Laplace}\:\mathrm{transform} \\ $$$$\mathrm{y}^{''} \:+\mathrm{5y}^{'} \:+\mathrm{2y}\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{cosx}\:\:\mathrm{with}\:\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)=\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{2} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 24/May/20
![(e) ⇒L(y^(′′) )+5L(y^′ )+2L(y) =L(x^2 cosx) ⇒ x^2 L(y)−xy(0)−y^′ (0) +5(xL(y)−y(0))+2L(y)=L(x^2 cosx) ⇒ (x^2 +5x+2)L(y) −x−2−5 =L(x^2 cosx) but L(x^2 cosx) =∫_0 ^∞ t^2 cost e^(−xt) dt =Re( ∫_0 ^∞ t^2 e^(−xt+it) dt) =Re(∫_0 ^∞ t^2 e^((−x+i)t) dt) by parts ∫_0 ^∞ t^2 e^((−x+i)t) dt =[(t^2 /(−x+i)) e^((−x+i)t) ]_0 ^∞ −∫_0 ^∞ ((2t)/((−x+i)))e^((−x+i)t) [dt =(2/(x−i)) ∫_0 ^∞ t e^((−x+i)t) dt =(2/(x−i)){ [(t/(−x+i))e^((−x+i)t) ]_0 ^∞ −∫_0 ^∞ (1/(−x+i))e^((−x+i)t) dt =(2/(x−i)){ (1/(x−i))[(1/(−x+i))e^((−x+i)t) ]_0 ^∞ } =−(2/((x−i)^3 )){−1} =(2/((x−i)^3 )) =((2(x+i)^3 )/((x^2 +1)^3 )) =((2( x^3 −3x +3ix^2 −i^3 ))/((x^2 +1)^3 )) ⇒Re(∫....) =((2x^3 −6x)/((x^2 +1)^3 )) (e) ⇒(x^2 +5x+2)L(y) =x+7 +((2x^3 −6x)/((x^2 +1)^3 )) ⇒ L(y) =((x+7)/(x^2 +5x+2)) +((2x^3 −6x)/((x^2 +5x+2)(x^2 +1)^3 )) ⇒ y =L^(−1) (((x+7)/(x^2 +5x+2))) +L^(−1) (((2x^3 −6x)/((x^2 +5x+2)(x^2 +1)^3 ))) rest decomposition of those fractions ...be continued...](https://www.tinkutara.com/question/Q95376.png)
$$\left(\mathrm{e}\right)\:\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{''} \right)+\mathrm{5L}\left(\mathrm{y}^{'} \right)+\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cosx}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{xy}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\:+\mathrm{5}\left(\mathrm{xL}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\right)+\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{L}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cosx}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:−\mathrm{x}−\mathrm{2}−\mathrm{5}\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cosx}\right)\:\:\mathrm{but} \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cosx}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cost}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\:=\mathrm{Re}\left(\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}+\mathrm{it}} \mathrm{dt}\right) \\ $$$$=\mathrm{Re}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\right)\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{−\mathrm{x}+\mathrm{i}}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2t}}{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}} \left[\mathrm{dt}\right. \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{i}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{i}}\left\{\:\left[\frac{\mathrm{t}}{−\mathrm{x}+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{x}+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\right. \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{i}}\left\{\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{i}}\left[\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{x}+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \right\}\:=−\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{3}} }\left\{−\mathrm{1}\right\}\:=\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{3}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{2}\left(\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:−\mathrm{3x}\:+\mathrm{3ix}^{\mathrm{2}} −\mathrm{i}^{\mathrm{3}} \right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\mathrm{Re}\left(\int….\right)\:=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\left(\mathrm{e}\right)\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{x}+\mathrm{7}\:+\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{7}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5x}+\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{7}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5x}+\mathrm{2}}\right)\:+\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\right) \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{decomposition}\:\mathrm{of}\:\mathrm{those}\:\mathrm{fractions}\:…\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$