Menu Close

Solve-cos-2-x-3cos-2-2x-cos-2-3x-




Question Number 106469 by ZiYangLee last updated on 05/Aug/20
Solve cos^2 x+3cos^2 2x=cos^2 3x
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{3cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}=\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{3x} \\ $$
Answered by mahdi last updated on 05/Aug/20
cos(3x)=cos(2x).cosx−sin(2x).sinx=  (2cos^2 x−1).cosx−(1−cos^2 x).cosx=  3cos^3 x−2cosx  cos(2x)=2cos^2 x−1  cos^2 x+3cos^2 2x=cos^2 3x⇒  cos^2 x+3(2cos^2 −1)^2 =(3cos^3 x−2cosx)^2 ⇒  get  cosx=a  a^2 +3(2a^2 −1)^2 =(3a^3 −2a)^2 ⇒  0=3a^6 −8a^4 +5a^2 −1
$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)=\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right).\mathrm{cosx}−\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right).\mathrm{sinx}= \\ $$$$\left(\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1}\right).\mathrm{cosx}−\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right).\mathrm{cosx}= \\ $$$$\mathrm{3cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}−\mathrm{2cosx} \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)=\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{3cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}=\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{3x}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{3}\left(\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{3cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}−\mathrm{2cosx}\right)^{\mathrm{2}} \Rightarrow \\ $$$$\mathrm{get}\:\:\mathrm{cosx}=\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{3a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2a}\right)^{\mathrm{2}} \Rightarrow \\ $$$$\mathrm{0}=\mathrm{3a}^{\mathrm{6}} −\mathrm{8a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{5a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$
Commented by malwaan last updated on 06/Aug/20
b=a^2 ⇒3b^3 −8b^2 +5b−1=0
$${b}={a}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{3}{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{8}{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}{b}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$
Answered by john santu last updated on 05/Aug/20
3cos^2 2x=cos^2 3x−cos^2 x  3cos^2 2x=(cos 3x+cos x)(cos 3x−cos x)  3cos^2 2x=2cos 2xcos x(cos 3x−cos x)  case(1) cos 2x=0 , x = ±(π/4)+k.180°  case(2)  2cos x(cos 3x−cos x)−3cos 2x=0  2cos x(4cos^3 x−4cos x)−3(2cos^2 x−1)=0  let cos x = t  ⇒2t(4t^3 −4t)−6t^2 +3 = 0  8t^4 −14t^2 +3 = 0; t^2 = ((14±10)/(16))  t^2  = (3/2)(rejected); t^2 =(1/4)  now easy to solve
$$\mathrm{3cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}=\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3x}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{3cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}=\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{3cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}=\mathrm{2cos}\:\mathrm{2xcos}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}=\mathrm{0}\:,\:\mathrm{x}\:=\:\pm\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\mathrm{k}.\mathrm{180}° \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)−\mathrm{3cos}\:\mathrm{2x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}−\mathrm{4cos}\:\mathrm{x}\right)−\mathrm{3}\left(\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{t} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2t}\left(\mathrm{4t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4t}\right)−\mathrm{6t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{8t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{14t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\:=\:\mathrm{0};\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} =\:\frac{\mathrm{14}\pm\mathrm{10}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{rejected}\right);\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve} \\ $$
Commented by ZiYangLee last updated on 05/Aug/20
thank you <33
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:<\mathrm{33} \\ $$
Commented by john santu last updated on 05/Aug/20
≥44.
$$\geqslant\mathrm{44}.\: \\ $$

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *