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solve-d-2-y-dx-2-y-x-2-sin3x-

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Question Number 160752 by Eric002 last updated on 05/Dec/21
solve (d^2 y/dx^2 )−y=x^2 sin3x
$${solve} \\ $$$$\frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dx}^{\mathrm{2}} }−{y}={x}^{\mathrm{2}} {sin}\mathrm{3}{x} \\ $$
Answered by qaz last updated on 06/Dec/21
y′′−y=x^2 sin 3x y_p =(1/(D^2 −1))x^2 sin 3x =(1/2)((1/(D−1))−(1/(D+1)))x^2 sin 3x =A−B A=(1/(2(D−1)))x^2 sin 3x =(e^x /2)∫x^2 e^(−x) sin 3xdx =(1/(500))((−25x^2 +40x+13)sin 3x+(−75x^2 −30x+9)cos 3x) B=(1/(2(D+1)))x^2 sin 3x =(e^(−x) /2)∫x^2 e^x sin 3xdx =(1/(500))((25x^2 +40x−13)sin 3x+(−75x^2 +30x+9)cos 3x) ⇒y_p =(1/(250))((−25x^2 +13)sin 3x−30xcos 3x) ⇒y=C_1 e^x +C_2 e^(−x) +(1/(250))((−25x^2 +13)sin 3x−30xcos 3x)
$$\mathrm{y}''−\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3x} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{D}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{D}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3x} \\ $$$$=\mathrm{A}−\mathrm{B} \\ $$$$\mathrm{A}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{D}−\mathrm{1}\right)}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\int\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3xdx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{500}}\left(\left(−\mathrm{25x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{40x}+\mathrm{13}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}+\left(−\mathrm{75x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{30x}+\mathrm{9}\right)\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\right) \\ $$$$\mathrm{B}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{D}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\int\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3xdx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{500}}\left(\left(\mathrm{25x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{40x}−\mathrm{13}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}+\left(−\mathrm{75x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{30x}+\mathrm{9}\right)\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{250}}\left(\left(−\mathrm{25x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{13}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}−\mathrm{30xcos}\:\mathrm{3x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{250}}\left(\left(−\mathrm{25x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{13}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}−\mathrm{30xcos}\:\mathrm{3x}\right) \\ $$

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