Question Number 57688 by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\:\:\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:\:\mathrm{n}:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{i}} {\overset{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{1}} {\sum}}\:\:\:\overset{\mathrm{n}} {\:}\mathrm{C}_{\mathrm{i}} \:\mathrm{2}^{\mathrm{i}} \:\:=\:\:\mathrm{65},\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{n}\:\in\:\mathbb{Z}^{+} .\:\:\:\:\mathrm{where}\:\:\mathrm{zero}\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\:\:\mathrm{included} \\ $$
Commented by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 10/Apr/19
$${question}\:\:{not}\:{clear}\:.. \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{C}_{{i}} ^{{n}} \mathrm{2}^{{i}} \leftarrow{is}\:{it}\:{the}\:{question} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{Yes}\:\mathrm{sir}.\: \\ $$
Commented by Abdo msup. last updated on 10/Apr/19
$${first}\:{we}\:{have}\:\sum_{{i}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{C}_{{n}} ^{{i}} \:\mathrm{2}^{{i}} \:=\sum_{{i}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:{C}_{{n}} ^{{i}} \:\mathrm{2}^{{i}} \:−{C}_{{n}} ^{{n}} \:\mathrm{2}^{{n}} \\ $$$$=\mathrm{3}^{{n}} \:−\mathrm{2}^{{n}} \:\left({we}\:{suppose}\:{that}\:{the}\:{sum}\:{begins}\:{from}\:\mathrm{0}\right) \\ $$$$\Rightarrow\left({e}\right)\:\Rightarrow\mathrm{3}^{{n}} \:−\mathrm{2}^{{n}} \:=\mathrm{65}\:\:\Rightarrow\:{n}=\mathrm{4}\:. \\ $$$$ \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sirs},\:\:\mathrm{is}\:\mathrm{there}\:\mathrm{anyway}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{n}\:\mathrm{from}\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:−\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:\:=\:\:\mathrm{65} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{Sir},\:\mathrm{please}\:\mathrm{i}\:\mathrm{need}\:\mathrm{the}\:\mathrm{rules}\:\mathrm{of}\:\mathrm{summation},\:\:\mathrm{expecially}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{has}\:\:\mathrm{something}\:\mathrm{like}\:\:\:\:\underset{\mathrm{i}\:=\:\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{1}} {\sum}}\:\:\:\mathrm{how}\:\mathrm{to}\:\mathrm{split}\:\mathrm{them} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{Because}\:\mathrm{have}\:\mathrm{been}\:\mathrm{trying}\:\mathrm{to}\:\mathrm{understand}\:\mathrm{how}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:−\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:\:=\:\:\mathrm{65}.\:\:\mathrm{I}\:\mathrm{did}\:\mathrm{not}\:\mathrm{understand}\:\mathrm{yet}. \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{Sorry}\:\mathrm{for}\:\mathrm{disturbing}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{or}\:\mathrm{textbook}\:\mathrm{i}\:\mathrm{can}\:\mathrm{learn}\:\mathrm{it}. \\ $$
Commented by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 10/Apr/19
$${S}={C}_{\mathrm{0}} ^{{n}} \mathrm{2}^{\mathrm{0}} +{C}_{\mathrm{1}} ^{{n}} \mathrm{2}^{\mathrm{1}} +{C}_{\mathrm{2}} ^{{n}} \mathrm{2}^{\mathrm{2}} +….+{C}_{{n}−\mathrm{1}} ^{{n}} \mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${now}\:{look}\:{here} \\ $$$$\left({x}+\mathrm{2}\right)^{{n}} ={C}_{\mathrm{0}} ^{{n}} {x}^{{n}−\mathrm{0}} \mathrm{2}^{\mathrm{0}} +{C}_{\mathrm{1}} ^{{n}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} \mathrm{2}^{\mathrm{1}} +{C}_{\mathrm{2}} ^{{n}} {x}^{{n}−\mathrm{2}} \mathrm{2}^{\mathrm{2}} +…+{C}_{{n}−\mathrm{1}} ^{{n}} {x}^{\mathrm{1}} \mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} +{C}_{{n}} ^{{n}} {x}^{{n}−{n}} \mathrm{2}^{{n}} \\ $$$${now}\:{put}\:{x}=\mathrm{1}\:{both}\:{side} \\ $$$$\mathrm{3}^{{n}} =\left[{C}_{\mathrm{0}} ^{{n}} \mathrm{2}^{\mathrm{0}} +{C}_{\mathrm{1}} ^{{n}} \mathrm{2}^{\mathrm{1}} +…+{C}_{{n}−\mathrm{1}} ^{{n}} \mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \right]+{C}_{{n}} ^{{n}} \mathrm{2}^{{n}} \leftarrow{look}\:{here} \\ $$$$\mathrm{3}^{{n}} ={S}+{C}_{{n}} ^{{n}} \mathrm{2}^{{n}} \\ $$$${now}\:{C}_{{n}} ^{{n}} =\frac{{n}!}{{n}!\left({n}−{n}\right)!}=\mathrm{1} \\ $$$${so} \\ $$$$\mathrm{3}^{{n}} ={S}+\mathrm{2}^{{n}} ×\mathrm{1} \\ $$$${S}=\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} \\ $$$${so}\:\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{C}_{{i}} ^{{n}_{} } \mathrm{2}^{{i}} =\boldsymbol{{S}}=\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} \\ $$$$\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} =\mathrm{65} \\ $$$${by}\:{lnspection} \\ $$$$\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} =\mathrm{81}−\mathrm{16} \\ $$$$\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} =\mathrm{3}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}^{\mathrm{4}} \:\rightarrow{n}=\mathrm{4} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{Ohh},\:\mathrm{I}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{your}\:\mathrm{time}\:\mathrm{and}\:\mathrm{effort}\:\mathrm{sir}.\:\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{I}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{And}\:\mathrm{i}\:\mathrm{understand}\:\mathrm{very}\:\mathrm{well} \\ $$
Answered by mr W last updated on 10/Apr/19
$${assumed}\:{you}\:{mean} \\ $$$$\underset{\mathrm{i}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{1}} {\sum}}\:\:\:\overset{\mathrm{n}} {\:}\mathrm{C}_{\mathrm{i}} \:\mathrm{2}^{\mathrm{i}} \:\:=\:\:\mathrm{65}\: \\ $$$${LHS}=\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} =\mathrm{65} \\ $$$$\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} =\mathrm{65} \\ $$$$\Rightarrow{n}=\mathrm{4} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{How}\:\mathrm{is}\:\mathrm{left}\:\mathrm{hand}\:\mathrm{side}\:=\:\:\left(\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{n}} \:−\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:\:\:\mathrm{sir}\:\:?? \\ $$
Commented by mr W last updated on 10/Apr/19
$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)^{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{C}_{{i}} ^{{n}} \mathrm{2}^{{i}} =\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{C}_{{i}} ^{{n}} \mathrm{2}^{{i}} +\mathrm{2}^{{n}} ={LHS}+\mathrm{2}^{{n}} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{any}\:\mathrm{step}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get}\:\mathrm{n}\:=\:\mathrm{4}\:? \\ $$
Commented by mr W last updated on 10/Apr/19
$${try}\:{and}\:{see}… \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{Trier}\:\mathrm{and}\:\mathrm{error}\:? \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{I}\:\mathrm{found}\:\mathrm{a}\:\mathrm{method}\:\mathrm{i}\:\mathrm{used}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get}\:\:\mathrm{n}\:=\:\mathrm{4},\:\:\mathrm{from}\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:−\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:\:=\:\:\mathrm{65}.\:\:\mathrm{I}\:\mathrm{used}\:\mathrm{algebra} \\ $$$$\mathrm{representation}. \\ $$$$\mathrm{But}\:\mathrm{am}\:\mathrm{still}\:\mathrm{finding}\:\mathrm{it}\:\mathrm{difficult}\:\mathrm{to}\:\mathrm{understand}.\:\:\mathrm{how}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get} \\ $$$$\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:−\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:\:=\:\:\mathrm{65}\:\:\:\:\:\mathrm{from}\:\mathrm{the}\:\mathrm{relation}.\: \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{Maybe}\:\mathrm{i}\:\mathrm{need}\:\mathrm{sigma}\:\mathrm{notation}\:\mathrm{rules}.\:\mathrm{How}\:\mathrm{to}\:\mathrm{apply} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\:\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:−\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:\:=\:\:\mathrm{65} \\ $$$$\:\:\:\:\left[\mathrm{3}^{\left(\mathrm{n}/\mathrm{2}\right)} \right]^{\mathrm{2}} \:−\:\left[\mathrm{2}^{\left(\mathrm{n}/\mathrm{2}\right)} \right]^{\mathrm{2}} \:\:=\:\:\mathrm{65} \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{n}/\mathrm{2}} \:\:=\:\:\mathrm{m}\:\:\:\mathrm{and}\:\:\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}/\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{y} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{m}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:\:=\:\:\mathrm{65} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{m}\:+\:\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{m}\:−\:\mathrm{y}\right)\:\:=\:\:\mathrm{13}\:×\:\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{m}\:+\:\mathrm{y}\:\:=\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{m}\:−\:\mathrm{y}\:\:=\:\:\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{m}\:\:=\:\:\mathrm{9},\:\:\mathrm{y}\:=\:\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{n}/\mathrm{2}} \:\:=\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\mathrm{and}\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}/\mathrm{2}} \:\:=\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{n}\:=\:\mathrm{4}\:\:\:\mathrm{twice}. \\ $$$$ \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{But}\:\mathrm{am}\:\mathrm{still}\:\mathrm{comfused}\:\mathrm{on}\:\mathrm{how}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get}\:\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:−\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:\:\mathrm{from}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum} \\ $$
Commented by MJS last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{this}\:\mathrm{isn}'\mathrm{t}\:\mathrm{a}\:\mathrm{method},\:\mathrm{it}\:\mathrm{works}\:\mathrm{here}\:\mathrm{just}\:\mathrm{by}\:\mathrm{chance} \\ $$$$\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} =\mathrm{91} \\ $$$$\left(\mathrm{3}^{{n}/\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2}^{{n}/\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{91} \\ $$$$\left(\mathrm{3}^{{n}/\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{{n}/\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{3}^{{n}/\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{{n}/\mathrm{2}} \right)=\mathrm{7}×\mathrm{13} \\ $$$$\mathrm{3}^{{n}/\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{{n}/\mathrm{2}} =\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{3}^{{n}/\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{{n}/\mathrm{2}} =\mathrm{13} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{3}^{{n}/\mathrm{2}} =\mathrm{10}\:\wedge\:\mathrm{2}^{{n}/\mathrm{2}} =\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\:{n}=\frac{\mathrm{2ln}\:\mathrm{10}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}\:\wedge\:{n}=\frac{\mathrm{2ln}\:\mathrm{3}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{while}\:\mathrm{in}\:\mathrm{this}\:\mathrm{case}\:{n}\approx\mathrm{4}.\mathrm{28235} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{If}\:\mathrm{i}\:\mathrm{really}\:\mathrm{understand}\:\mathrm{the}\:\mathrm{spliting}\:\mathrm{to}\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:−\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} .\:\mathrm{it}\:\mathrm{will}\:\mathrm{help}. \\ $$$$\:\mathrm{Am}\:\mathrm{sorry}\:\mathrm{for}\:\mathrm{disturbance}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{I}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{want}\:\mathrm{to}\:\mathrm{cram} \\ $$
Commented by mr W last updated on 10/Apr/19
$${for}\:{how}\:{to}\:{solve}\:{equations}\:{like} \\ $$$$\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} =\mathrm{65} \\ $$$${there}\:{is}\:{only}\:{one}\:{way}:\:{that}'{s}\:{try}\:{and}\:{error}. \\ $$$${since}\:{n}\geqslant\mathrm{1},\:{you}\:{try}\:{with}\:{n}=\mathrm{1}, \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{1}} −\mathrm{2}^{\mathrm{1}} =\mathrm{1}<\mathrm{65}\Rightarrow{not}\:{good},\:{then}\:{try}\:{with}\:{n}=\mathrm{2}, \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{2}} =\mathrm{5}<\mathrm{65}\Rightarrow{not}\:{good},\:{then}\:{try}\:{with}\:{n}=\mathrm{3}, \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}^{\mathrm{3}} =\mathrm{19}<\mathrm{65}\Rightarrow{not}\:{good},\:{then}\:{try}\:{with}\:{n}=\mathrm{4}, \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}^{\mathrm{4}} =\mathrm{65}=\mathrm{65}\Rightarrow{good},\:{you}\:{got}\:{it}! \\ $$$${to}\:{be}\:{sure}\:{you}\:{try}\:{with}\:{n}=\mathrm{5}, \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{5}} −\mathrm{2}^{\mathrm{5}} =\mathrm{211}>\mathrm{65}\Rightarrow{not}\:{good},\:{no}\:{other}\:{solution}. \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{Ohh},\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\:\mathrm{I}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{your}\:\mathrm{time}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{When}\:\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{chance}\:\mathrm{sir},\:\:\mathrm{i}\:\mathrm{need}\:\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{term}\:\mathrm{of}\:\:\underset{\mathrm{i}\:=\:\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{1}} {\sum}}\:\:… \\ $$
Commented by mr W last updated on 10/Apr/19
$${what}'{s}\:{your}\:{problem}? \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:{you}\:{don}'{t}\:{understand}\:{how}\:{to}\:{get} \\ $$$$\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} =\mathrm{65}\:{from}\:\underset{\mathrm{i}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{1}} {\sum}}\:\:\:\overset{\mathrm{n}} {\:}\mathrm{C}_{\mathrm{i}} \:\mathrm{2}^{\mathrm{i}} \:\:=\:\:\mathrm{65}. \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{you}\:{don}'{t}\:{understand}\:{how}\:{to}\:{get} \\ $$$$\:{n}=\mathrm{4}\:{from}\:\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} =\mathrm{65}. \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{my}\:\mathrm{problem}\:\mathrm{sir}.\:\: \\ $$
Commented by mr W last updated on 10/Apr/19
$${i}\:{can}\:{only}\:{give}\:{you}\:{examples},\:{try}\:{to}\:{find} \\ $$$${the}\:{rules}\:{by}\:{yourself}: \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} +…+{a}_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{i}} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} +…+{a}_{{n}} ={a}_{\mathrm{1}} +\underset{{i}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{i}} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} +…+{a}_{{n}−\mathrm{1}} +{a}_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{a}_{{i}} +{a}_{{n}} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} +…+{a}_{{n}−\mathrm{2}} +{a}_{{n}−\mathrm{1}} +{a}_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{2}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}{a}_{{i}} +{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{{n}−\mathrm{1}} +{a}_{{n}} \\ $$
Commented by mr W last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{3}^{{n}} =\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)^{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{C}_{{k}} ^{\:{n}} \mathrm{2}^{{k}} =\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{C}_{{k}} ^{\:{n}} \mathrm{2}^{{k}} +{C}_{{n}} ^{\:{n}} \mathrm{2}^{{n}} \\ $$$${is}\:{this}\:{clear}\:{for}\:{you}? \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 10/Apr/19
$$\mathrm{Yes}\:\mathrm{sir},\:\mathrm{very}\:\mathrm{clear}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{realy}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{your}\:\mathrm{time}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mr W last updated on 10/Apr/19