Question Number 161091 by HongKing last updated on 11/Dec/21
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{real}\:\mathrm{numbers}: \\ $$$$\sqrt{\mathrm{1}\:-\:\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{1}\:-\:\mathrm{2x}\:\sqrt{\mathrm{1}\:-\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 11/Dec/21
$$\mathrm{squaring}\:\&\:\mathrm{transforming} \\ $$$${x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{but}\:{x}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{4}\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{squaring}\:\&\:\mathrm{transforming} \\ $$$${x}^{\mathrm{6}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{64}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}−\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{8}}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}+\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{8}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{easy} \\ $$$$\mathrm{testing}\:\mathrm{all}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x}_{\mathrm{2},\:\mathrm{3}} =\pm\frac{\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by HongKing last updated on 11/Dec/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much}\:\mathrm{my}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{Sir}\:\mathrm{very}\:\mathrm{nice} \\ $$