Question Number 19135 by gourav~ last updated on 05/Aug/17
$${solve}\:{for}\:{x}: \\ $$$$\mathrm{2}^{\mid{x}+\mathrm{2}\mid} −\mid\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\mid=\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 05/Aug/17
$$\mathrm{x}+\mathrm{2}\geqslant\mathrm{0}\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{x}\geqslant−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\:\geqslant\mathrm{0}\:\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{x}\geqslant−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{x}<−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}^{−\mathrm{x}−\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{or}\:\:\:\mathrm{2}^{−\mathrm{x}−\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:−\mathrm{x}−\mathrm{2}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Let}\:−\mathrm{2}\leqslant\:\mathrm{x}\:\leqslant−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{2}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{or}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Let}\:−\mathrm{1}<\:\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{True}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\:\:\mathrm{x}\:>−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\mathrm{x}\in\left[−\mathrm{1},\:\infty\right)\:\cup\:\left\{−\mathrm{3}\right\}\:. \\ $$
Commented by gourav~ last updated on 06/Aug/17
$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$