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solve-for-x-2-x-2-2-x-1-1-2-x-1-1-




Question Number 19135 by gourav~ last updated on 05/Aug/17
solve for x:  2^(∣x+2∣) −∣2^(x+1) −1∣=2^(x+1) +1
$${solve}\:{for}\:{x}: \\ $$$$\mathrm{2}^{\mid{x}+\mathrm{2}\mid} −\mid\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\mid=\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 05/Aug/17
x+2≥0  ⇒  x≥−2  2^(x+1) −1 ≥0   ⇒  x≥−1  Let x<−2  ⇒ 2^(−x−2) +2^(x+1) −1=2^(x+1) +1  or   2^(−x−2) =2  ⇒    −x−2=1              x=−3  Let −2≤ x ≤−1  ⇒   2^(x+2) +2^(x+1) −1=2^(x+1) +1  ⇒   2^(x+2) =2  ⇒    x+2=1  or        x=−1  Let −1< x  ⇒ 2^(x+2) −2^(x+1) +1=2^(x+1) +1  ⇒ 2^(x+2) =2(2^(x+1) )  True for all   x >−1  ⇒   x∈[−1, ∞) ∪ {−3} .
$$\mathrm{x}+\mathrm{2}\geqslant\mathrm{0}\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{x}\geqslant−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\:\geqslant\mathrm{0}\:\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{x}\geqslant−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{x}<−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}^{−\mathrm{x}−\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{or}\:\:\:\mathrm{2}^{−\mathrm{x}−\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:−\mathrm{x}−\mathrm{2}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Let}\:−\mathrm{2}\leqslant\:\mathrm{x}\:\leqslant−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{2}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{or}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Let}\:−\mathrm{1}<\:\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{True}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\:\:\mathrm{x}\:>−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\mathrm{x}\in\left[−\mathrm{1},\:\infty\right)\:\cup\:\left\{−\mathrm{3}\right\}\:. \\ $$
Commented by gourav~ last updated on 06/Aug/17
thank you sir
$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$

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