Question Number 34328 by mondodotto@gmail.com last updated on 04/May/18
$$\boldsymbol{\mathrm{solve}}\:\boldsymbol{\mathrm{for}}\:\boldsymbol{{x}}\:\boldsymbol{\mathrm{and}}\:\boldsymbol{{y}} \\ $$$$\left(\boldsymbol{\mathrm{i}}\right)\:\mathrm{2}^{\boldsymbol{{x}}−\mathrm{1}} .\mathrm{3}^{\boldsymbol{{y}}+\mathrm{1}} =\mathrm{25} \\ $$$$\left(\boldsymbol{\mathrm{ii}}\right)\mathrm{2}^{\boldsymbol{{n}}−\mathrm{1}} .\mathrm{3}^{\boldsymbol{{m}}+\mathrm{1}} =\mathrm{113} \\ $$
Commented by Amstrongmazoka last updated on 04/May/18
$${you}\:{said}\:{we}\:{should}\:{solve}\:{for}\:{x}\:{and}\:{y} \\ $$$${yet}\:{we}\:{see}\:{n}\:{and}\:{m}\:{in}\:{the}\:{question} \\ $$$${how}\:{about}\:{that}? \\ $$
Answered by MJS last updated on 04/May/18
$$\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{3}^{{y}+\mathrm{1}} =\mathrm{25}×\mathrm{2}^{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$$\left({y}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{3}=\mathrm{ln}\:\mathrm{25}+\left(\mathrm{1}−{x}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{2} \\ $$$${y}=−\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}{x}+\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}+\mathrm{2ln}\:\mathrm{5}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{2}^{{y}−\mathrm{1}} \mathrm{3}^{{x}+\mathrm{1}} =\mathrm{113} \\ $$$$\mathrm{2}^{{y}−\mathrm{1}} =\mathrm{113}×\mathrm{3}^{−{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\left({y}−\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{2}=\mathrm{ln}\:\mathrm{113}−\left({x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{3} \\ $$$${y}=−\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}{x}+\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}+\mathrm{ln}\:\mathrm{113}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$−\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}{x}+\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}+\mathrm{2ln}\:\mathrm{5}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}=−\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}{x}+\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}+\mathrm{ln}\:\mathrm{113}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}−\mathrm{2ln}\:\mathrm{2}×\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{3}−\mathrm{ln}\:\mathrm{5}\right)+\mathrm{ln}\:\mathrm{3}×\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{3}−\mathrm{ln}\:\mathrm{113}\right)}{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}−\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{3}} \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}−\mathrm{ln}\:\mathrm{2}×\left(\mathrm{2ln}\:\mathrm{3}−\mathrm{ln}\:\mathrm{113}\right)+\mathrm{ln}\:\mathrm{3}×\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{3}−\mathrm{2ln}\:\mathrm{5}\right)}{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}−\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mondodotto@gmail.com last updated on 04/May/18
$$\boldsymbol{\mathrm{thanx}}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\:\boldsymbol{\mathrm{lot}}\:\boldsymbol{\mathrm{sir}} \\ $$
Commented by MJS last updated on 04/May/18
$$…\mathrm{sorry}\:\mathrm{there}'\mathrm{s}\:\mathrm{no}\:“\mathrm{beautiful}''\:\mathrm{solution}… \\ $$
Commented by mondodotto@gmail.com last updated on 05/May/18
$$\mathrm{oky} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 06/May/18
$$\mathrm{If}\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{as} \\ $$$$\left(\boldsymbol{\mathrm{i}}\right)\:\mathrm{2}^{\boldsymbol{{x}}−\mathrm{1}} .\mathrm{3}^{\boldsymbol{{y}}+\mathrm{1}} =\mathrm{25} \\ $$$$\left(\boldsymbol{\mathrm{ii}}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{y}−\mathrm{1}} .\mathrm{3}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} =\mathrm{113} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{i}\right):\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}} .\mathrm{2}^{−\mathrm{1}} .\mathrm{3}^{\mathrm{y}} .\mathrm{3}=\mathrm{25} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{ii}\right):\:\mathrm{2}^{\mathrm{y}} .\mathrm{2}^{−\mathrm{1}} .\mathrm{3}^{\mathrm{x}} .\mathrm{3}=\mathrm{113} \\ $$$$\:\left(\mathrm{i}\right)/\left(\mathrm{ii}\right):\:\frac{\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}} .\mathrm{2}^{−\mathrm{1}} .\mathrm{3}^{\mathrm{y}} .\mathrm{3}}{\mathrm{2}^{\mathrm{y}} .\mathrm{2}^{−\mathrm{1}} .\mathrm{3}^{\mathrm{x}} .\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{113}} \\ $$$$\:\:\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{y}} =\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{113}} \\ $$$$\:\:\:\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}} \left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{−\mathrm{y}} =\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{113}} \\ $$$$\:\:\:\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}−\mathrm{y}} =\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{113}} \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left[\mathrm{log2}−\mathrm{log3}\right]=\mathrm{log25}−\mathrm{log113} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}−\mathrm{y}=\frac{\mathrm{log25}−\mathrm{log113}}{\mathrm{log2}−\mathrm{log3}}=\mathrm{a}\:\left(\mathrm{Say}\right)……\mathrm{I} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)×\left(\mathrm{ii}\right):\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{y}} .\mathrm{2}^{−\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{x}+\mathrm{y}} .\mathrm{3}^{\mathrm{2}} =\mathrm{25}×\mathrm{113} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{2}.\mathrm{3}\right)^{\mathrm{x}+\mathrm{y}} .\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}=\mathrm{25}×\mathrm{113} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{6}^{\mathrm{x}+\mathrm{y}} =\frac{\mathrm{25}×\mathrm{113}×\mathrm{4}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{y}=\frac{\mathrm{log25}+\mathrm{log113}+\mathrm{log4}−\mathrm{log9}}{\mathrm{log6}}=\mathrm{b}\:\left(\mathrm{say}\right)…\mathrm{II} \\ $$$$\mathrm{I}+\mathrm{II}:\:\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{II}−\mathrm{I}:\:\:\mathrm{y}=\frac{\mathrm{b}−\mathrm{a}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by mondodotto@gmail.com last updated on 04/May/18
$$\boldsymbol{\mathrm{i}}\:\boldsymbol{\mathrm{appreciate}}\:\boldsymbol{\mathrm{this}}!!! \\ $$