Question Number 116578 by bobhans last updated on 05/Oct/20
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\:\begin{vmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{x}\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\\{\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{2}\:\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }\\{\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{3}\:\:\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }\\{\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{4}\:\:\:\:\mathrm{4}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\mathrm{4}^{\mathrm{3}} }\end{vmatrix}=\:\mathrm{0} \\ $$
Answered by bemath last updated on 05/Oct/20
$$\:\begin{vmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{1}\:\:\mathrm{2}−\mathrm{x}\:\:\:\:\:\mathrm{4}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:\mathrm{8}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\\{\mathrm{1}\:\:\mathrm{3}−\mathrm{x}\:\:\:\:\:\mathrm{9}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:\mathrm{27}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\\{\mathrm{1}\:\:\mathrm{4}−\mathrm{x}\:\:\:\mathrm{16}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:\mathrm{64}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\end{vmatrix}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\begin{vmatrix}{\mathrm{2}−\mathrm{x}\:\:\:\:\:\mathrm{4}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\mathrm{8}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\\{\mathrm{3}−\mathrm{x}\:\:\:\:\mathrm{9}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\mathrm{27}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\\{\mathrm{4}−\mathrm{x}\:\:\:\mathrm{16}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:\mathrm{64}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\end{vmatrix}=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{4}−\mathrm{x}\right)\:\begin{vmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\mathrm{2}+\mathrm{x}\:\:\:\mathrm{4}+\mathrm{2x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{3}+\mathrm{x}\:\:\:\:\mathrm{9}+\mathrm{3x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{4}+\mathrm{x}\:\:\:\mathrm{16}+\mathrm{4x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\end{vmatrix}=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{4}−\mathrm{x}\right)\left\{\left(\mathrm{12}+\mathrm{7x}\right)−\left(\mathrm{16}+\mathrm{12x}\right)+\left(\mathrm{6}+\mathrm{5x}\right)\right\}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{4}−\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}=\mathrm{2}}\\{\mathrm{x}=\mathrm{3}}\\{\mathrm{x}=\mathrm{4}}\end{cases} \\ $$
Answered by Olaf last updated on 05/Oct/20
$$\mathrm{det}\left(\mathrm{A}\right)\:=\:−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{18}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{52}{x}+\mathrm{48} \\ $$$$\mathrm{det}\left(\mathrm{A}\right)\:=\:−\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}−\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{det}\left(\mathrm{A}\right)\:=\:\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:{x}\:=\:\mathrm{2}\:\mathrm{or}\:\mathrm{3}\:\mathrm{or}\:\mathrm{4} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 05/Oct/20
$$\mathrm{A}=\:\begin{vmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{x}\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\\{\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{2}\:\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }\\{\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{3}\:\:\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }\\{\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{4}\:\:\:\:\mathrm{4}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\mathrm{4}^{\mathrm{3}} }\end{vmatrix}=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{A}=\begin{vmatrix}{\mathrm{2}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{8}}\\{\mathrm{3}}&{\mathrm{9}}&{\mathrm{27}}\\{\mathrm{4}}&{\mathrm{16}}&{\mathrm{64}}\end{vmatrix}−\mathrm{x}\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{8}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{9}}&{\mathrm{27}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{16}}&{\mathrm{64}}\end{vmatrix} \\ $$$$+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{8}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{27}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{64}}\end{vmatrix}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{4}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{9}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{16}}\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{48}−\mathrm{52x}+\mathrm{18x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{26x}−\mathrm{24}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}\in\left\{\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4}\right\} \\ $$