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solve-for-x-x-5-x-4-1-0-

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Question Number 171835 by Mikenice last updated on 21/Jun/22
solve for x: x^5 +x^4 +1=0
$${solve}\:{for}\:{x}: \\ $$$${x}^{\mathrm{5}} +{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 21/Jun/22
x^5 +x^4 +1=(x^2 +ax+1)(x^3 +bx^2 +cx+1) x^5 +(a+b)x^4 +(ab+c+1)x^3 +(1+ac+b)x^2 +(a+c)x+1 a+b=1⇒b=1−a ab+c=−1⇒ab−a=−1 ac+b=−1⇒−a^2 +b=−1⇒a^2 +a−2=0⇒a=−2 or 1 a+c=0⇒a=−c only works a=1⇒b=0, c=−1 ⇒x^5 +x^4 +1=(x^2 +x+1)(x^3 −x+1)=0 x^2 +x+1=0⇒x=((−1±i(√3))/2) x^3 −x+1=0 note that (a+b)^3 −3ab(a+b)−(a^3 +b^3 )=0 let x=a+b x^3 −3abx−(a^3 +b^3 )=0 ⇒3ab=1⇒a^3 b^3 =(1/(27))=P a^3 +b^3 =−1=S ⇒a^3 , b^3 are the roots of z^2 +z+(1/(27))=0⇒z=((−1±(5/(3(√3))))/2)=a^3 and b^3 ⇒x=a+b=(((−1+(5/(3(√3))))/2))^(1/3) +(((−1−(5/(3(√3))))/2))^(1/3)
$$\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{bx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{cx}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{ab}+\mathrm{c}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{1}+\mathrm{ac}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{c}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{1}−\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{ab}+\mathrm{c}=−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{ab}−\mathrm{a}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{ac}+\mathrm{b}=−\mathrm{1}\Rightarrow−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}=−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{a}=−\mathrm{2}\:\mathrm{or}\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{c}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{a}=−\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{only}\:\mathrm{works}\:\mathrm{a}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{0},\:\mathrm{c}=−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}\pm\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{note}\:\mathrm{that}\:\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3ab}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\mathrm{a}+\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3abx}−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3ab}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \mathrm{b}^{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}=\mathrm{P} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} =−\mathrm{1}=\mathrm{S} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{3}} ,\:\mathrm{b}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{are}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{z}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{z}=\frac{−\mathrm{1}\pm\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{b}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{a}+\mathrm{b}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}}{\mathrm{2}}}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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