Question Number 152874 by mnjuly1970 last updated on 02/Sep/21
$$ \\ $$$$\:\:\:{solve}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{I}\::=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \left(\frac{\:{tanh}\:\left({x}\right)\:}{{x}}\:\right)^{\:\mathrm{2}} {dx}\:=\:? \\ $$$$\:\:{m}.{n}. \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 02/Sep/21
$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{tanh}{x}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} {dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{tanh}^{\mathrm{2}} {x}}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$\:\:=\left[−\frac{\mathrm{tanh}^{\mathrm{2}} {x}}{{x}}+\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{tanh}{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{tanh}^{\mathrm{2}} {x}\right)}{{x}}{dx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$\:\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{tanh}{x}}{{x}}−\frac{\mathrm{tanh}^{\mathrm{3}} {x}}{{x}}\right){dx}=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{{x}}\left(\frac{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{2}{x}} }{\mathrm{1}+{e}^{−\mathrm{2}{x}} }−\left(\frac{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{2}{x}} }{\mathrm{1}+{e}^{−\mathrm{2}{x}} }\right)^{\mathrm{3}} \right){dx} \\ $$$$\:\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{{x}}\left[\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {e}^{−\mathrm{2}{nx}} \left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{2}{x}} \right)\right. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {n}\left({n}−\mathrm{1}\right){e}^{−\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{2}\right){x}} \left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{2}{x}} \right)^{\mathrm{3}} \right]{dx} \\ $$$$\:\:=\mathrm{2}\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {x}^{−\mathrm{1}} \left({e}^{−\mathrm{2}{nx}} −{e}^{−\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right){x}} \right){dx} \\ $$$$\:\:−\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left({n}^{\mathrm{2}} −{n}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {x}^{−\mathrm{1}} \left({e}^{−\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{2}\right){x}} −\mathrm{3}{e}^{−\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right){x}} +\mathrm{3}{e}^{−\mathrm{2}{nx}} −{e}^{−\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right){x}} \right){dx} \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{ax}\right)}=\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}{a}^{{n}} {x}^{{n}} \\ $$$$\frac{{x}}{\left(\mathrm{1}−{ax}\right)^{\mathrm{2}} }=\Sigma{na}^{{n}−\mathrm{1}} {x}^{{n}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−{ax}\right)^{\mathrm{3}} }=\Sigma{n}\left({n}−\mathrm{1}\right){a}^{{n}−\mathrm{2}} {x}^{{n}} \\ $$
Answered by Kamel last updated on 04/Sep/21
$$ \\ $$$$\Omega\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \left(\frac{{tanh}\left({x}\right)}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} {dx} \\ $$$$\overset{{t}={tanh}\left({x}\right)} {=}\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{t}^{\mathrm{2}} }{{Ln}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}−{t}}{\mathrm{1}+{t}}\right)\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} \right)}{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\overset{{IBP}} {=}−\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{t}}{{Ln}\left(\frac{\mathrm{1}−{t}}{\mathrm{1}+{t}}\right)}{dt}\overset{{u}=\frac{\mathrm{1}−{t}}{\mathrm{1}+{t}}} {=}−\mathrm{8}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{u}}{\left(\mathrm{1}+{u}\right)^{\mathrm{3}} {Ln}\left({u}\right)}{du} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{8}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{u}^{{a}} }{\left(\mathrm{1}+{u}\right)^{\mathrm{3}} }{duda}=−\mathrm{1}+\mathrm{1}−\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {a}\left({a}−\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{u}^{{a}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{1}+{u}\right)}{duda} \\ $$$$\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {a}\left(\mathrm{1}−{a}\right)\left(\Psi\left(\frac{{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)−\Psi\left(\frac{{a}}{\mathrm{2}}\right)\right){da} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {a}\left(\mathrm{1}−{a}\right)\left(\Psi\left(\mathrm{1}−\frac{{a}}{\mathrm{2}}\right)−\Psi\left(\frac{\mathrm{1}−{a}}{\mathrm{2}}\right)\right){da} \\ $$$$\therefore\:\Omega=\pi\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {a}\left(\mathrm{1}−{a}\right)\left({cot}\left(\frac{\pi{a}}{\mathrm{2}}\right)+{tg}\left(\frac{\pi{a}}{\mathrm{2}}\right)\right){da} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\pi\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{a}\left(\mathrm{1}−{a}\right)}{{sin}\left(\pi{a}\right)}{da}\overset{{IBP}} {=}\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{a}\right){Ln}\left({cot}\left(\frac{\pi{a}}{\mathrm{2}}\right)\right){da} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{4}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{a}\right){cos}\left(\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)\pi{a}\right){da} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{8}}{\pi}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {sin}\left(\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)\pi{a}\right){da} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{16}}{\pi^{\mathrm{2}} }\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{14}\zeta\left(\mathrm{3}\right)}{\pi^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\therefore\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \left(\frac{\boldsymbol{{tanh}}\left(\boldsymbol{{x}}\right)}{\boldsymbol{{x}}}\right)^{\mathrm{2}} \boldsymbol{{dx}}=\frac{\mathrm{14}\boldsymbol{\zeta}\left(\mathrm{3}\right)}{\boldsymbol{\pi}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{BENAICHA}}\:\boldsymbol{{KAMEL}} \\ $$