Question Number 104178 by mathocean1 last updated on 19/Jul/20
$${Solve}\:{in}\:\mathbb{R} \\ $$$$\left.{a}\right)\:\mathrm{3}\mid{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\mid−\mathrm{8}\sqrt{\left(\mid{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\mid\right)+\mathrm{4}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left.{b}\left.\right)\sqrt{\left(\mid{x}^{\mathrm{2}} −{x}−\mathrm{6}\right.}\mid\right)={x}+\mathrm{1} \\ $$$$\left.{c}\right)\sqrt{\left({x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{27}\right.}+\mathrm{6}<{x}+\mathrm{3} \\ $$
Answered by OlafThorendsen last updated on 19/Jul/20
$$\left.{a}\right)\:{u}\:=\:\mid{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\mid \\ $$$$\mathrm{9}{u}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{64}\left({u}+\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{9}{u}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{64}{u}−\mathrm{256}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Delta\:=\:\mathrm{13312} \\ $$$${u}\:=\:\frac{\mathrm{64}\pm\mathrm{32}\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{18}}\:=\:\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{2}\pm\sqrt{\mathrm{13}}\right) \\ $$$${u}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{u}\:=\:\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{13}}\right) \\ $$$${x}−\sqrt{\mathrm{3}}\:=\:\pm\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{13}}\right) \\ $$$${x}\:=\:\sqrt{\mathrm{3}}\pm\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{13}}\right) \\ $$
Commented by mathocean1 last updated on 19/Jul/20
$${Thank}\:{you}\:{sir}! \\ $$
Answered by bemath last updated on 20/Jul/20
$$\left({c}\right)\:\sqrt{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{27}}\:<\:{x}−\mathrm{3} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:{x}−\mathrm{3}\:>\:\mathrm{0}\:\rightarrow{x}>\mathrm{3} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{27}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow{x}\:\geqslant\:\mathrm{3}\: \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right){x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{27}\:<\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{9} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{9}\right)<\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{3}\right)\left\{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{9}+\mathrm{3}−{x}\right\}<\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{12}\right)<\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{3}\right)\left(\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{11}\right)<\mathrm{0} \\ $$$${x}\:<\:\mathrm{3}\: \\ $$$${solution}\:\left(\mathrm{1}\right)\cap\left(\mathrm{2}\right)\cap\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$${x}\:=\:\varnothing \\ $$
Commented by mathocean1 last updated on 20/Jul/20
$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 20/Jul/20
$$\left.{a}\right)\:\mathrm{3}\mid{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\mid−\mathrm{8}\sqrt{\left(\mid{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\mid\right)+\mathrm{4}}=\mathrm{0} \\ $$$${Let}\:\sqrt{\left(\mid{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\mid\right)+\mathrm{4}}={y} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\mid={y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\mathrm{3}\left({y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\right)−\mathrm{8}{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{3}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{y}−\mathrm{12}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{y}=\frac{\mathrm{8}\pm\sqrt{\mathrm{64}+\mathrm{144}}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\sqrt{\left(\mid{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\mid\right)+\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{8}\pm\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\left(\mid{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\mid\right)+\mathrm{4}=\left(\frac{\mathrm{8}\pm\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mid{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\mid=\left(\frac{\mathrm{8}\pm\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mid{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\mid=\left(\frac{\mathrm{8}\pm\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4} \\ $$$$\begin{cases}{{x}−\sqrt{\mathrm{3}}=\left(\frac{\mathrm{8}\pm\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}>\mathrm{0}}\\{−{x}+\sqrt{\mathrm{3}}=\left(\frac{\mathrm{8}\pm\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}>\mathrm{0}}\end{cases}\:\: \\ $$$$\begin{cases}{{x}=\left(\frac{\mathrm{8}\pm\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}+\sqrt{\mathrm{3}}}\\{{x}=−\left(\frac{\mathrm{8}\pm\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}+\sqrt{\mathrm{3}}}\end{cases}\:\: \\ $$$$ \\ $$