solve-in-R-x-2-2x-5-2x-2-4x-8-7-

Question Number 167879 by mnjuly1970 last updated on 28/Mar/22

$$ \\ $$$$\:\:\:\:{solve}\:{in}\:\:\mathbb{R} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\sqrt{{x}^{\:\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{5}}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}{x}^{\:\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}\:+\mathrm{8}}\:=\mathrm{7} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:−−−−− \\ $$

Commented by cortano1 last updated on 28/Mar/22

2x^2 −4x+8=2(x^2 −2x+4) let x^2 −2x+4=u (√(u+1)) +(√(2u)) = 7 2u = 49+u+1−14(√(u+1)) u−50 = −14(√(u+1)) 196u+196= u^2 −100u+250 u^2 −296u+250=0 { ((u=148+3(√(2406)))),((u=148−3(√(2406)))) :} { ((x^2 −2x+4=148+3(√(2406)))),((x^2 −2x+4=148−3(√(2406)))) :}

$$\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{8}=\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}\right) \\ $$$$\:{let}\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}={u} \\ $$$$\:\sqrt{{u}+\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{2}{u}}\:=\:\mathrm{7} \\ $$$$\:\mathrm{2}{u}\:=\:\mathrm{49}+{u}+\mathrm{1}−\mathrm{14}\sqrt{{u}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:{u}−\mathrm{50}\:=\:−\mathrm{14}\sqrt{{u}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\mathrm{196}{u}+\mathrm{196}=\:{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{100}{u}+\mathrm{250} \\ $$$$\:{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{296}{u}+\mathrm{250}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\begin{cases}{{u}=\mathrm{148}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2406}}}\\{{u}=\mathrm{148}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2406}}}\end{cases} \\ $$$$\:\begin{cases}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}=\mathrm{148}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2406}}}\\{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}=\mathrm{148}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2406}}}\end{cases} \\ $$

Answered by MJS_new last updated on 28/Mar/22

(√(x^2 −2x+5))+(√(2(x^2 −2x+4)))=7 t=x−1 (√(t^2 +4))+(√(2(t^2 +3)))=7 squaring (beware of false solutions!) & transforming 2(√(t^2 +4))(√(2(t^2 +3)))=3(13−t^2 ) squaring (beware of false solutions!) & transforming t^4 −290t^2 +1425=0 (t^2 −285)(t^2 −5)=0 t=±(√(285))∨t=±(√5) testing all solutions ⇒ t=±(√5) ⇒ x=1±(√5)

$$\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}\right)}=\mathrm{7} \\ $$$${t}={x}−\mathrm{1} \\ $$$$\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}+\sqrt{\mathrm{2}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}=\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{squaring}\:\left(\mathrm{beware}\:\mathrm{of}\:\mathrm{false}\:\mathrm{solutions}!\right)\:\&\:\mathrm{transforming} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}\sqrt{\mathrm{2}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}=\mathrm{3}\left(\mathrm{13}−{t}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{squaring}\:\left(\mathrm{beware}\:\mathrm{of}\:\mathrm{false}\:\mathrm{solutions}!\right)\:\&\:\mathrm{transforming} \\ $$$${t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{290}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1425}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{285}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${t}=\pm\sqrt{\mathrm{285}}\vee{t}=\pm\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{testing}\:\mathrm{all}\:\mathrm{solutions}\:\Rightarrow \\ $$$${t}=\pm\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${x}=\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$

Commented by mnjuly1970 last updated on 28/Mar/22

$${bravo}\:\:{bravo}\:{master}… \\ $$

Answered by nurtani last updated on 28/Mar/22

(√(x^2 −2x+5))−(√(2x^2 −4x+8))=7 (√(x^2 −2x+5))−(√(2(x^2 −2x+4)))=7 (√(x^2 −2x+5))−(√(2(x^2 −2x+5−1)))=7 x^2 −2x+5= α (√α)−(√(2(α−1)))=7 (√α)−(√(2α−2))=7 ((√α)−(√(2α−2)))^2 =7^2 α−2(√α)∙(√(2α−2))+2α−2=49 α−2(√(α(2α−2)))+2α−2=49 3α−2(√(2α^2 −2α))=51 3α−51=2(√(2α^2 −2α)) (3α−51)^2 =(2(√(2α^2 −2α)))^2 9α^2 −306α+2601=4(2α^2 −2α) 9α^2 −306α+2601=8α^2 −8α α^2 −298α+2601=0 (α−289)(α−9)=0 { ((α=289)),((α=9)) :} { ((x^2 −2x+5=289⇒ x^2 −2x−284=0 { ((x_1 =(√(285))+1)),((x_2 =−(√(285))+1)) :})),((x^2 −2x+5=9⇒x^2 −2x−4=0 { ((x_3 = (√5)+1)),((x_4 =−(√5)+1)) :})) :}

$$\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{8}}=\mathrm{7} \\ $$$$\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}\right)}=\mathrm{7} \\ $$$$\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}−\mathrm{1}\right)}=\mathrm{7} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}=\:\alpha \\ $$$$\sqrt{\alpha}−\sqrt{\mathrm{2}\left(\alpha−\mathrm{1}\right)}=\mathrm{7} \\ $$$$\sqrt{\alpha}−\sqrt{\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}}=\mathrm{7} \\ $$$$\left(\sqrt{\alpha}−\sqrt{\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{7}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\alpha−\mathrm{2}\sqrt{\alpha}\centerdot\sqrt{\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}}+\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}=\mathrm{49} \\ $$$$\alpha−\mathrm{2}\sqrt{\alpha\left(\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}\right)}+\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}=\mathrm{49} \\ $$$$\mathrm{3}\alpha−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\alpha}=\mathrm{51} \\ $$$$\mathrm{3}\alpha−\mathrm{51}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\alpha} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\alpha−\mathrm{51}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\alpha}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{9}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{306}\alpha+\mathrm{2601}=\mathrm{4}\left(\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\alpha\right) \\ $$$$\mathrm{9}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{306}\alpha+\mathrm{2601}=\mathrm{8}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}\alpha \\ $$$$\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{298}\alpha+\mathrm{2601}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\alpha−\mathrm{289}\right)\left(\alpha−\mathrm{9}\right)=\mathrm{0}\:\begin{cases}{\alpha=\mathrm{289}}\\{\alpha=\mathrm{9}}\end{cases} \\ $$$$\begin{cases}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}=\mathrm{289}\Rightarrow\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{284}=\mathrm{0\begin{cases}{{x}_{\mathrm{1}} =\sqrt{\mathrm{285}}+\mathrm{1}}\\{{x}_{\mathrm{2}} =−\sqrt{\mathrm{285}}+\mathrm{1}}\end{cases}}}\\{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}=\mathrm{9}\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}=\mathrm{0\begin{cases}{{x}_{\mathrm{3}} =\:\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}\\{{x}_{\mathrm{4}} =−\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}\end{cases}}}\end{cases} \\ $$

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