Question Number 120953 by bemath last updated on 04/Nov/20
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{in}\:\mathrm{x}\in\mathbb{R} \\ $$$$\mid\:\mathrm{3x}−\mathrm{4}\:\mid\:=\:\mathrm{x}−\mathrm{5}\: \\ $$
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 04/Nov/20
$${when}\:\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{4}\right)>\mathrm{0}\rightarrow\:\:\:\:{x}>\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{4}\right)={x}−\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{2}{x}=−\mathrm{1} \\ $$$${x}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\boldsymbol{{but}}\:\boldsymbol{{x}}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:\:\boldsymbol{{does}}\:\boldsymbol{{not}}\:\boldsymbol{{follow}}\:\boldsymbol{{condition}} \\ $$$$\boldsymbol{{x}}>\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\:\boldsymbol{{so}}\:\boldsymbol{{x}}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:{can}\:{not}\:{be}\:{a}\:{solution} \\ $$$$\bigstar\:{now}\: \\ $$$${when}\:\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{4}\right)<\mathrm{0} \\ $$$${x}<\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$$−\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{4}\right)={x}−\mathrm{5} \\ $$$$−\mathrm{3}{x}−{x}=−\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{4}{x}=\mathrm{9} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\boldsymbol{{but}}\:\boldsymbol{{x}}=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\:\boldsymbol{{does}}\:\boldsymbol{{not}}\:\boldsymbol{{follow}}\:\:\boldsymbol{{condition}}\:\boldsymbol{{x}}<\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\boldsymbol{{S}}{o}\:{no}\:{solution} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by ebi last updated on 04/Nov/20
$$\mid\mathrm{3}{x}−\mathrm{4}\mid={x}−\mathrm{5} \\ $$$$ \\ $$$${Case}\:{A} \\ $$$$\mathrm{3}{x}−\mathrm{4}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{3}{x}−\mathrm{4}={x}−\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{2}{x}=−\mathrm{1}\:\rightarrow{x}=−\mathrm{0}.\mathrm{5} \\ $$$$\mid\mathrm{3}\left(−\mathrm{0}.\mathrm{5}\right)−\mathrm{4}\mid\overset{?} {=}\left(−\mathrm{0}.\mathrm{5}\right)−\mathrm{5} \\ $$$$\mid−\mathrm{5}.\mathrm{5}\mid\overset{?} {=}−\mathrm{5}.\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{5}.\mathrm{5}\neq−\mathrm{5}.\mathrm{5} \\ $$$$\therefore\:{x}=−\mathrm{0}.\mathrm{5}\:{is}\:{not}\:{the}\:{solution}. \\ $$$$ \\ $$$${Case}\:{B} \\ $$$$\mathrm{3}{x}−\mathrm{4}<\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{3}{x}−\mathrm{4}=−\left({x}−\mathrm{5}\right) \\ $$$$\mathrm{4}{x}=\mathrm{9}\:\rightarrow{x}=\mathrm{2}.\mathrm{25} \\ $$$$\mid\mathrm{3}\left(\mathrm{2}.\mathrm{25}\right)−\mathrm{4}\mid\overset{?} {=}\mathrm{2}.\mathrm{25}−\mathrm{5} \\ $$$$\mid−\mathrm{2}.\mathrm{75}\mid\overset{?} {=}−\mathrm{2}.\mathrm{75} \\ $$$$\mathrm{2}.\mathrm{75}\neq−\mathrm{2}.\mathrm{75} \\ $$$$\therefore\:{x}=\mathrm{2}.\mathrm{25}\:{is}\:{not}\:{the}\:{solution}. \\ $$$${no}\:{solution}\: \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 04/Nov/20
$$\mid\mathrm{3}×\mathrm{2}.\mathrm{25}−\mathrm{4}\mid\neq\mathrm{2}.\mathrm{25}−\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{2}.\mathrm{75}\neq−\mathrm{2}.\mathrm{75} \\ $$
Commented by ebi last updated on 04/Nov/20
$${Yes}.\:{Thank}\:{you}\:{sir}\:{for}\:{notice}\:{the}\:{mistake}. \\ $$$$ \\ $$
Answered by liberty last updated on 04/Nov/20
$$\mid\:\mathrm{3x}−\mathrm{4}\mid\:=\:\mathrm{x}−\mathrm{5}\:,\:\mathrm{since}\:\mid\mathrm{3x}−\mathrm{4}\mid\:\geqslant\:\mathrm{0}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{x}\epsilon\mathbb{R} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{it}\:\mathrm{follow}\:\mathrm{that}\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{consider}\:\mid\mathrm{3x}−\mathrm{4}\:\mid\:=\:\mathrm{x}−\mathrm{5}\:\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{3x}−\mathrm{4}=\mathrm{x}−\mathrm{5}\:}\\{\mathrm{or}\:}\\{\mathrm{3x}−\mathrm{4}=\mathrm{5}−\mathrm{x}}\end{cases} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{2x}=−\mathrm{1}\rightarrow\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{rejected}\right)}\\{\mathrm{4x}=\mathrm{9}\rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\:\left(\mathrm{rejected}\right)}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{thus}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equality}\:\mathrm{has}\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution}\: \\ $$$$\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:=\:\varnothing\:. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 04/Nov/20
$$\mid\mathrm{3x}−\mathrm{4}\mid=\mathrm{x}−\mathrm{5}\:\Rightarrow\mid\mathrm{3x}−\mathrm{4}\mid−\mathrm{x}+\mathrm{5}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\infty\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$$$\mid\mathrm{3x}−\mathrm{4}\mid\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{3x}+\mathrm{4}\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\mathrm{3x}−\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{4x}+\mathrm{9}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2x}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3x}−\mathrm{4}−\mathrm{x}+\mathrm{5}\:=\mathrm{2x}+\mathrm{1}\:\:\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\:\:\begin{cases}{−\mathrm{4x}+\mathrm{9}\:\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}\\{\mathrm{2x}+\mathrm{1}\:\:\mathrm{if}\:\:\:\mathrm{x}\geqslant\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{4x}+\mathrm{9}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\:\:\mathrm{but}\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}>\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\:\mathrm{its}\:\mathrm{not}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}\geqslant\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{2x}+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}<\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\rightarrow\mathrm{not}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{for}\:\mathrm{this}\:\mathrm{equation} \\ $$