Question Number 79127 by ~blr237~ last updated on 22/Jan/20
$$\:{Solve}\:\:{on}\:\mathbb{R}\ast\mathbb{R}\:\:{the}\:{following}\:{system} \\ $$$$\left\{_{\mathrm{9}^{{A}} +\mathrm{9}^{{B}} +\mathrm{9}^{{C}} =\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}^{{A}} +\mathrm{3}^{{B}} +\mathrm{3}^{{C}} =\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\:\right. \\ $$
Commented by jagoll last updated on 23/Jan/20
$$\mathrm{because}\:\mathrm{x}>\mathrm{0}\:,\:\mathrm{y}>\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{z}>\mathrm{0} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 23/Jan/20
$$\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{xy}+\mathrm{xz}+\mathrm{yz}\right) \\ $$$$\mathrm{x}\left(\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{y}\left(\mathrm{z}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{z}\left(\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{z}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 23/Jan/20
$$\mathrm{9}^{\mathrm{a}} +\mathrm{9}^{\mathrm{b}} +\mathrm{9}^{\mathrm{c}} =\left(\mathrm{3}^{\mathrm{a}} +\mathrm{3}^{\mathrm{b}} +\mathrm{3}^{\mathrm{c}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{a}+\mathrm{b}} +\mathrm{3}^{\mathrm{a}+\mathrm{c}} +\mathrm{3}^{\mathrm{b}+\mathrm{c}} \right) \\ $$$$\mathrm{1}=\mathrm{3}−\mathrm{2}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{a}+\mathrm{b}} +\mathrm{3}^{\mathrm{a}+\mathrm{c}} +\mathrm{3}^{\mathrm{b}+\mathrm{c}} \right) \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{a}+\mathrm{b}} +\mathrm{3}^{\mathrm{a}+\mathrm{c}} +\mathrm{3}^{\mathrm{b}+\mathrm{c}} =\mathrm{1} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 23/Jan/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{3}^{\mathrm{a}} =\mathrm{x}\:,\:\mathrm{3}^{\mathrm{b}} =\mathrm{y}\:,\:\mathrm{3}^{\mathrm{c}} =\mathrm{z} \\ $$$$\mathrm{xy}+\mathrm{xz}+\mathrm{yz}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{z}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 23/Jan/20
$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{xy}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{yz}+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{xz}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{y}−\mathrm{z}\right)+\mathrm{z}\left(\mathrm{z}−\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 23/Jan/20
$$\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$
Commented by ~blr237~ last updated on 23/Jan/20
$${your}\:{explanation}\:{of}\:\:{x}={y}={z}\:{is}\:{not}\:{clear}\:{sir}\: \\ $$$${cause}\:{you}\:{don}'{t}\:{know}\:{if}\:\:{x}\left({y}−{z}\right)>\mathrm{0}\:{or}\:{same}\:{for}\:{the}\:{rest} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 23/Jan/20
$$\mathrm{impossible}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{y}−\mathrm{z}\right)>\mathrm{0}\:\mathrm{sir}. \\ $$$$\mathrm{because}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{the}\:\mathrm{three}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\mathrm{zero} \\ $$
Commented by ~blr237~ last updated on 23/Jan/20
$${you}\:{should}\:{prove}\:{that}\:{the}\:{three}\:{of}\:{them}\:{are}\:{positive}\:{before}\:{concluding} \\ $$
Commented by MJS last updated on 23/Jan/20
$$\mathrm{it}\:\mathrm{must}\:\mathrm{be}\:\mathbb{R}×\mathbb{R}×\mathbb{R}\:\mathrm{not}\:\mathbb{R}×\mathbb{R} \\ $$
Answered by ~blr237~ last updated on 23/Jan/20
$${let}\:\:{find}\:{A}=\left(\mathrm{3}^{{A}} −\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3}^{{B}} −\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3}^{{C}} −\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${A}=\left(\mathrm{9}^{{A}} −\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{3}^{{A}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\left(\mathrm{9}^{{B}} −\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{3}^{{B}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\left(\mathrm{9}^{{C}} −\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{3}^{{C}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:=\:\mathrm{9}^{{A}} +\mathrm{9}^{{B}} +\mathrm{9}^{{C}} −\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{3}^{{A}} +\mathrm{3}^{{B}} +\mathrm{3}^{{C}} \right)+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${such}\:{as}\:{each}\:{term}\:{of}\:{A}\:{is}\:{positive}\:{we}\:{got}\: \\ $$$$\mathrm{3}^{{A}} =\mathrm{3}^{{B}} =\mathrm{3}^{{C}} =\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\: \\ $$$${Finaly}\:\:{A}={B}={C}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\: \\ $$
Commented by jagoll last updated on 23/Jan/20
$$\mathrm{what}\:\mathrm{wrong}\:\mathrm{my}\:\mathrm{answer}? \\ $$
Commented by ~blr237~ last updated on 23/Jan/20
$${we}\:{don}'{t}\:{know}\:{if}\:\:{y}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}>\mathrm{0}\:,\:{even}\:\:{z}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\:{and}\:{y}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1} \\ $$$${the}\:{proposition}\:{you}\:{want}\:{to}\:{is}\: \\ $$$${when}\:{U}\geqslant\mathrm{0},{V}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$${U}+{V}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{U}=\mathrm{0}\:{and}\:{V}=\mathrm{0} \\ $$$${but}\:{you}\:{did}\:{verify}\:{if}\:{firstly}\:\:{U},{V}\:\left(\:{there}\:{it}'{s}\:\:{x}\left({y}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}\right)\:,{y}\left({z}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}\right),{z}\left({x}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}\right)\:\right)\:{were}\:{positive}\: \\ $$
Commented by MJS last updated on 23/Jan/20
$${A}=\left(\mathrm{3}^{{A}} −\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3}^{{B}} −\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3}^{{C}} −\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{do}\:\mathrm{that},\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{confusing}\:\mathrm{and}\:\mathrm{simply}\:\mathrm{wrong} \\ $$
Answered by MJS last updated on 23/Jan/20
$$\mathrm{3}^{{A}} ={x},\:\mathrm{3}^{{B}} ={y},\:\mathrm{3}^{{C}} ={z};\:{x}>\mathrm{0}\wedge{y}>\mathrm{0}\wedge{z}>\mathrm{0} \\ $$$$\begin{cases}{{x}+{y}+{z}=\sqrt{\mathrm{3}}}\\{{x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} +{z}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\begin{cases}{{z}=\sqrt{\mathrm{3}}−\left({x}+{y}\right)}\\{{x}^{\mathrm{2}} +{xy}+{y}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{x}−\sqrt{\mathrm{3}}{y}+\mathrm{1}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{let}\:{y}={sx};\:{x}>\mathrm{0} \\ $$$$\begin{cases}{{z}=\sqrt{\mathrm{3}}−\left({s}+\mathrm{1}\right){x}}\\{{s}^{\mathrm{2}} +\frac{{x}−\sqrt{\mathrm{3}}}{{x}}{s}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{let}\:{s}={t}−\frac{{x}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{x}} \\ $$$$\begin{cases}{{z}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}−\left({t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right){x}}\\{{t}^{\mathrm{2}} =−\frac{\left(\mathrm{3}{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}{x}^{\mathrm{2}} }}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\:{t}=\pm\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}}\mathrm{i} \\ $$$$\Rightarrow\:{s}=−\frac{{x}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{x}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}}\mathrm{i} \\ $$$$\Rightarrow\:{y}=−\frac{{x}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i} \\ $$$$\Rightarrow\:{z}=−\frac{{x}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mp\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{we}\:\mathrm{only}\:\mathrm{get}\:\mathrm{a}\:\mathrm{real}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{if} \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\:{s}=\mathrm{1}\wedge{t}=\mathrm{0}\wedge{x}={y}={z}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\:{A}={B}={C}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$