Question Number 15975 by myintkhaing last updated on 16/Jun/17
$${Solve}\:{sin}\:\mathrm{2}{x}\:+\:{cos}\:\mathrm{2}{x}\:=\mathrm{0}, \\ $$$${for}\:−\pi<{x}<\pi. \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 16/Jun/17
$$\mathrm{sin2x}\:+\:\mathrm{cos2x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Note}:\:\mathrm{sin2x}\:=\:\mathrm{2sinxcosx}\:\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{cos2x}\:=\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{2sinxcosx}\:+\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\:\mathrm{1}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{2sinxcosx}\:+\:\mathrm{1}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2sinxcosx}\:+\:\mathrm{1}\:−\:\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\:\mathrm{2sinxcosx}\:−\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\:\mathrm{2sinx}\sqrt{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:−\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\:\mathrm{2sinx}\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:−\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{sinx}\:=\:\mathrm{p} \\ $$$$\therefore\:\:\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2p}\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\:−\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\therefore\:\:\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1}\:=\:\:\mathrm{2p}\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{Square}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides} \\ $$$$\therefore\:\:\left(\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\left[\mathrm{2p}\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$\therefore\:\:\left(\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{4p}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\:−\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\therefore\:\:\:\mathrm{4p}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{4p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4p}^{\mathrm{4}} \\ $$$$\therefore\:\:\:\mathrm{4p}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\:+\:\mathrm{4p}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{4p}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\therefore\:\:\:\mathrm{8p}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{8p}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\therefore\:\:\:\mathrm{8}\left(\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{8p}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}\:=\:\mathrm{8},\:\mathrm{b}\:=\:−\:\mathrm{8},\:\mathrm{c}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{−\:\mathrm{b}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4ac}}}{\mathrm{2a}} \\ $$$$\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{−\:\left(−\mathrm{8}\right)\:\pm\:\sqrt{\left(−\mathrm{8}\right)^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4}\left(\mathrm{8}\right)\left(\mathrm{1}\right)}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{8}\right)} \\ $$$$\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{\mathrm{8}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{64}\:−\:\mathrm{32}}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{\mathrm{8}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{32}}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0}.\mathrm{8536}\:\mathrm{or}\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0}.\mathrm{1465} \\ $$$$\mathrm{p}\:=\:\pm\:\sqrt{\mathrm{0}.\mathrm{8536}}\:\mathrm{or}\:\mathrm{p}\:=\:\pm\:\sqrt{\mathrm{0}.\mathrm{1465}} \\ $$$$\mathrm{p}\:=\:\pm\:\mathrm{0}.\mathrm{9239}\:\:\:\mathrm{or}\:\mathrm{p}\:=\:\pm\:\mathrm{0}.\mathrm{3828} \\ $$$$\mathrm{sinx}\:=\:\pm\:\mathrm{0}.\mathrm{9239}\:\:\:\mathrm{or}\:\mathrm{sinx}\:=\:\pm\:\mathrm{0}.\mathrm{3828} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}.\mathrm{9239}\right)\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{0}.\mathrm{9239}\right)\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}.\mathrm{3828}\right)\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{0}.\mathrm{3828}\right) \\ $$$$\therefore\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{67}.\mathrm{5}\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:=\:−\:\mathrm{67}.\mathrm{5}\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{22}.\mathrm{5}\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:=\:−\:\mathrm{22}.\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{To}\:\mathrm{find}\:\mathrm{other}\:\mathrm{angle}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{range}\:\mathrm{given}. \\ $$$$\mathrm{use}:\:\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{180n}°\:+\:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\alpha\right),\:\:\:\:\:\:\mathrm{where}\:\:\alpha\:=\:\pm\:\mathrm{67}.\mathrm{5}\:\mathrm{or}\:\alpha\:=\:\pm\:\mathrm{22}.\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{and}\:\:\mathrm{n}\:=\:\mathrm{0},\:\mathrm{1},\:\mathrm{2}\:…\:\:\mathrm{Cancel}\:\mathrm{anyone}\:\mathrm{that}\:\mathrm{is}\:\mathrm{out}\:\mathrm{of}\:\mathrm{range}. \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 16/Jun/17
$$\sqrt{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}+\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}=\mathrm{k}\pi,\mathrm{k}\in\mathbb{Z} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{k}\pi−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\mathrm{within}\:\left(−\pi,\pi\right): \\ $$$$\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{8}},−\frac{\pi}{\mathrm{8}},\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}},\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{8}} \\ $$
Commented by myintkhaing last updated on 16/Jun/17
$${in}\:\mathrm{2}^{{nd}} \:{line},\:{not}\:{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\: \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 16/Jun/17
$$\mathrm{my}\:\mathrm{typo},\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by myintkhaing last updated on 16/Jun/17
$${sin}\:{cos}\:+{cos}\:{sin} \\ $$