Question Number 37913 by gunawan last updated on 19/Jun/18
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{diferential}\:\mathrm{equatuion} \\ $$$$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{\mathrm{2}{x}+{y}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}{y}+\mathrm{3}}\: \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 19/Jun/18
$${let}\:{x}={X}+{h}\:\: \\ $$$${y}={Y}+{k} \\ $$$$\frac{{dx}}{{dX}}=\mathrm{1}\:\:\:\:\frac{{dy}}{{dY}}=\mathrm{1} \\ $$$${so}\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{dY}}{{dX}} \\ $$$$\frac{{dY}}{{dX}}=\frac{\mathrm{2}\left({X}+{h}\right)+{Y}+{k}+\mathrm{1}}{\left({X}+{h}\right)−\mathrm{2}\left({Y}+{k}\right)+\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{{dY}}{{dX}}=\frac{\mathrm{2}{X}+{Y}+\mathrm{2}{h}+{k}+\mathrm{1}}{{X}−\mathrm{2}{Y}+{h}−\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}} \\ $$$${put}\:\mathrm{2}{h}+{k}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${h}−\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{h}+{k}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{h}−\mathrm{4}{k}+\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$${substructing} \\ $$$$\mathrm{5}{k}−\mathrm{5}=\mathrm{0}\:\:\:{k}=\mathrm{1}\:\: \\ $$$${h}−\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$${h}−\mathrm{2}+\mathrm{3}=\mathrm{0}\:\:\:{h}=−\mathrm{1} \\ $$$$\frac{{dY}}{{dX}}=\frac{\mathrm{2}{X}+{Y}}{{X}−\mathrm{2}{Y}} \\ $$$$\frac{{dY}}{{dX}}=\frac{\mathrm{2}+\frac{{Y}}{{X}}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}\frac{{Y}}{{X}}}\:\:{put}\:\frac{{Y}}{{X}}={V} \\ $$$${Y}={VX} \\ $$$$\frac{{dY}}{{dX}}={V}+{X}\frac{{dV}}{{dX}} \\ $$$${V}+{X}\frac{{dV}}{{dX}}=\frac{\mathrm{2}+{V}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{V}} \\ $$$${X}\frac{{dV}}{{dX}}=\frac{\mathrm{2}+{V}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{V}}−{V} \\ $$$$\frac{{X}\frac{{dV}}{{dX}}=\frac{\mathrm{2}+{V}−{V}+\mathrm{2}{V}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{2}{V}}}{} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}−\mathrm{2}{V}}{\mathrm{2}+\mathrm{2}{V}^{\mathrm{2}} }{dV}=\frac{{dX}}{{X}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dV}}{\mathrm{1}+{V}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{V}}{\mathrm{1}+{V}^{\mathrm{2}} }=\int\frac{{dX}}{{X}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{tan}^{−\mathrm{1}} {V}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{1}+{V}^{\mathrm{2}} \right)={lnX}+{lnc} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{Y}}{{X}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{{Y}^{\mathrm{2}} }{{X}^{\mathrm{2}} }\right)={lnX}+{lnc} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{y}−{k}}{{x}−{h}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left\{\mathrm{1}+\left(\frac{{y}−{k}}{{x}−{h}}\right)^{\mathrm{2}} \right\}={ln}\left({x}−{h}\right) \\ $$$$\:\:+{lnc} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{y}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left\{\mathrm{1}+\left(\frac{{y}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} \right\}={ln}\left({x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:+{lnc}\:\:\:{Ans} \\ $$
Commented by gunawan last updated on 19/Jun/18
$$\mathrm{Wow},\:\mathrm{Nice}\:\mathrm{Sir} \\ $$