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Solve-the-equation-y-1-x-6-9x-4-6x-2-x-y-P-




Question Number 145019 by mathdanisur last updated on 01/Jul/21
Solve the equation:  y+1=x^6 −9x^4 +6x^2   ;  x;y∈P
$${Solve}\:{the}\:{equation}: \\ $$$${y}+\mathrm{1}={x}^{\mathrm{6}} −\mathrm{9}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} \:\:;\:\:{x};{y}\in{P} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 01/Jul/21
y=x^6 −9x^4 +6x^2 −1  ;  x;y∈P  y=(x^3 −3x^2 +1)(x^3 +3x^2 −1)      a)  x^3 −3x^2 +1=1 ∧ x^3 +3x^2 −1=y                               OR     b)x^3 −3x^2 +1=y ∧ x^3 +3x^2 −1=1    a) x^3 −3x^2 =0 ∧ x^3 +3x^2 −1=y         x^2 (x−3)=0 ∧ x^3 +3x^2 −1=y         x=3 ∧ (3)^3 +3(3)^2 −1=y         x=3 ∧ y=53     b) x^3 +3x^2 −1=1 ∧ x^3 −3x^2 +1=y        x^3 +3x^2 −2=0 ∧ x^3 −3x^2 +1=y       No prime x      ∧   No prime y
$${y}={x}^{\mathrm{6}} −\mathrm{9}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:\:;\:\:{x};{y}\in{P} \\ $$$${y}=\left({x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left.\:\:\:\:\boldsymbol{{a}}\right)\:\:{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{1}\:\wedge\:{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}={y} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{OR} \\ $$$$\left.\:\:\:\boldsymbol{{b}}\right){x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}={y}\:\wedge\:{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{1} \\ $$$$\left.\:\:\boldsymbol{{a}}\right)\:{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\wedge\:{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}={y} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{3}\right)=\mathrm{0}\:\wedge\:{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}={y} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{x}=\mathrm{3}\:\wedge\:\left(\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}={y} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{x}=\mathrm{3}\:\wedge\:{y}=\mathrm{53} \\ $$$$\left.\:\:\:\boldsymbol{{b}}\right)\:{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{1}\:\wedge\:{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}={y} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\wedge\:{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}={y} \\ $$$$\:\:\:\:\:{No}\:{prime}\:{x}\:\:\:\:\:\:\wedge\:\:\:{No}\:{prime}\:{y} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 01/Jul/21
a lot cool Sir thankyou
$${a}\:{lot}\:{cool}\:{Sir}\:{thankyou} \\ $$

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