Solve-the-following-equations-a-x-2-a-2-6x-2-4x-2a-0-b-x-4-4x-3-10x-3-37x-14-0-if-it-known-that-the-left-hand-side-of-the-equation-can-be-decomposed-into-factors-with-integral-coefficients-

FacebookTweetPin

Question Number 113272 by 1549442205PVT last updated on 12/Sep/20

$$\mathrm{Solve}\mathrm{the}\mathrm{following}\mathrm{equations}:$$$$\mathrm{a}){({\mathrm{x}}^2-\mathrm{a})}^2-{6\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+2\mathrm{a}=0$$$$\mathrm{b}){\mathrm{x}}^4-{4\mathrm{x}}^3-{10\mathrm{x}}^3+37\mathrm{x}-14=0,\mathrm{if}\mathrm{it}$$$$\mathrm{known}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{left}-\mathrm{hand}\mathrm{side}\mathrm{of}\mathrm{the}$$$$\mathrm{equation}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{decomposed}\mathrm{into}$$$$\mathrm{factors}\mathrm{with}\mathrm{integral}\mathrm{coefficients}.$$

Answered by behi83417@gmail.com last updated on 12/Sep/20

$${({\mathrm{x}}^2-\mathrm{a})}^2-{4\mathrm{x}}^2-2({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-\mathrm{a})=0$$$$({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-\mathrm{a})({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-\mathrm{a})-2({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-\mathrm{a})=0$$$$\Rightarrow ({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-\mathrm{a})({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-\mathrm{a}-2)=0$$$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-\mathrm{a}=0\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{1\pm \sqrt{1+\mathrm{a}}}{2}\\ {\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-\mathrm{a}-2=0\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{-1\pm \sqrt{\mathrm{a}+3}}{2}\end{array}$$

Commented by 1549442205PVT last updated on 12/Sep/20

$$\mathrm{Thank}\mathrm{you}\mathrm{very}\mathrm{much}!$$

Answered by 1549442205PVT last updated on 13/Sep/20

$$\mathrm{a}){({\mathrm{x}}^2-\mathrm{a})}^2-{6\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+2\mathrm{a}=0(\ast )$$$$\iff {\mathrm{x}}^4-{2\mathrm{ax}}^2+{\mathrm{a}}^2-{6\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+2\mathrm{a}=0$$$$\iff {\mathrm{a}}^2-2({\mathrm{x}}^2-1)\mathrm{a}+{\mathrm{x}}^4-{6\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}=0$$$$\mathrm{We}\mathrm{look}\mathrm{at}\mathrm{this}\mathrm{like}\mathrm{as}\mathrm{a}\mathrm{quadratic}$$$$\mathrm{equation}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{a}\mathrm{with}\mathrm{the}$$$$\mathrm{discrimimant}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }={({\mathrm{x}}^2-1)}^2-({\mathrm{x}}^4-{6\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x})$$$$={4\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+1={(2\mathrm{x}-1)}^2.\mathrm{Hence},$$$$\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{a}={\mathrm{x}}^2-1\pm (2\mathrm{x}-1).\mathrm{From}\mathrm{that}$$$$\mathrm{i}){\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-2-\mathrm{a}=0\left(1\right)$$$$\mathrm{ii}){\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-\mathrm{a}=0\left(2\right)$$$$\mathrm{Solving}\mathrm{eqns}.\left(1\right)\mathrm{and}\left(2\right)\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}$$$$\mathrm{x}\mathrm{we}\mathrm{ontain}:{\mathrm{x}}_{1,2}=1\pm \sqrt{\mathrm{a}+3}\mathrm{and}$$$${\mathrm{x}}_3{,}_4=1\pm \sqrt{\mathrm{a}+1}$$$$\mathrm{The}\mathrm{roots}{\mathrm{x}}_{1,2}\mathrm{are}\mathrm{real}\mathrm{if}\mathrm{a}\in [-3;+\mathrm{\infty })$$$$\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{roots}{\mathrm{x}}_{3,4}\mathrm{are}\mathrm{real}\mathrm{if}\mathrm{a}\in [1;+\mathrm{\infty })$$$$\mathrm{b})\mathrm{We}\mathrm{represent}\mathrm{the}\mathrm{left}-\mathrm{hand}\mathrm{side}\mathrm{of}$$$$\mathrm{the}\mathrm{equation}{\mathrm{x}}^4-{4\mathrm{x}}^3-{10\mathrm{x}}^3+37\mathrm{x}-14=0$$$$\mathrm{as}({\mathrm{x}}^2+\mathrm{ax}+\mathrm{c})({\mathrm{x}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{d})=0$$$$\iff {\mathrm{x}}^4+(\mathrm{a}+\mathrm{b}){\mathrm{x}}^3+(\mathrm{ab}+\mathrm{c}+\mathrm{d}){\mathrm{x}}^2+(\mathrm{bc}+\mathrm{ad})\mathrm{x}$$$$+\mathrm{cd}\equiv {\mathrm{x}}^4-{4\mathrm{x}}^3-{10\mathrm{x}}^2+37\mathrm{x}-14.\mathrm{We}\mathrm{have}$$$$\mathrm{a}\mathrm{system}:$$$$\{\begin{array}{l}\mathrm{a}+\mathrm{b}=-4\\ \mathrm{ab}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=-10\\ \mathrm{bc}+\mathrm{ad}=37\\ \mathrm{cd}=-14\end{array}$$$$\mathrm{Since}\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\mathrm{and}\mathrm{d}\mathrm{are}\mathrm{integers},\mathrm{it}\mathrm{follows}$$$$\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{last}\mathrm{equation}\mathrm{that}\mathrm{c}=-1,\mathrm{d}=14$$$$\mathrm{or}\mathrm{c}=2,\mathrm{d}=-7.\mathrm{The}\mathrm{system}\mathrm{is}\mathrm{completely}$$$$\mathrm{satisfied}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{second}\mathrm{pair}\mathrm{of}\mathrm{values}\mathrm{of}$$$$\mathrm{c}\mathrm{and}\mathrm{d};\mathrm{for}\mathrm{these}\mathrm{values}\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{a}=-5$$$$\mathrm{and}\mathrm{b}=1\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{other}\mathrm{coefficients}.$$$$\mathrm{Solving}\mathrm{now}\mathrm{the}\mathrm{equations}$$$${\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+2=0\left(1\right)\mathrm{and}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-7=0\left(2\right)$$$$\mathrm{we}\mathrm{find}\mathrm{the}\mathrm{roots}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{original}\mathrm{equation}.$$$${\mathrm{x}}_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2},{\mathrm{x}}_{3,4}=\frac{1\pm \sqrt{29}}{2}.\mathrm{Thus},\mathrm{the}$$$$\mathrm{given}\mathrm{equation}\mathrm{has}\mathrm{four}\mathrm{roots}:$$$$\{\frac{5-\sqrt{17}}{2},\frac{5-\sqrt{17}}{2},\frac{1+\sqrt{29}}{2},\frac{1-\sqrt{29}}{2}\}$$

Terms of Service
Privacy Policy
Contact: info@tinkutara.com

FacebookTweetPin