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Question Number 113272 by 1549442205PVT last updated on 12/Sep/20
Solve the following equations: a)(x^2 −a)^2 −6x^2 +4x+2a=0 b)x^4 −4x^3 −10x^3 +37x−14=0,if it known that the left−hand side of the equation can be decomposed into factors with integral coefficients.
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{equations}: \\ $$$$\left.\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{2a}=\mathrm{0} \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{10x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{37x}−\mathrm{14}=\mathrm{0},\mathrm{if}\:\mathrm{it} \\ $$$$\mathrm{known}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{left}−\mathrm{hand}\:\mathrm{side}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{equation}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{decomposed}\:\mathrm{into} \\ $$$$\mathrm{factors}\:\mathrm{with}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{coefficients}. \\ $$
Answered by behi83417@gmail.com last updated on 12/Sep/20
(x^2 −a)^2 −4x^2 −2(x^2 −2x−a)=0 (x^2 −2x−a)(x^2 +2x−a)−2(x^2 −2x−a)=0 ⇒(x^2 −2x−a)(x^2 +2x−a−2)=0 ⇒ { ((x^2 −2x−a=0⇒x=((1±(√(1+a)))/2))),((x^2 +2x−a−2=0⇒x=((−1±(√(a+3)))/2))) :}
$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{a}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{a}\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{a}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{a}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{a}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{a}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 12/Sep/20
Thank you very much!
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}! \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 13/Sep/20
a)(x^2 −a)^2 −6x^2 +4x+2a=0(∗) ⇔x^4 −2ax^2 +a^2 −6x^2 +4x+2a=0 ⇔a^2 −2(x^2 −1)a+x^4 −6x^2 +4x=0 We look at this like as a quadratic equation with respect to a with the discrimimant Δ′=(x^2 −1)^2 −(x^4 −6x^2 +4x) =4x^2 −4x+1=(2x−1)^2 .Hence, we get a=x^2 −1±(2x−1).From that i)x^2 +2x−2−a=0(1) ii)x^2 −2x−a=0(2) Solving eqns.(1)and (2)with respect to x we ontain:x_(1,2) =1±(√(a+3)) and x_3 ,_4 =1±(√(a+1)) The roots x_(1,2) are real if a∈[−3;+∞) and the roots x_(3,4) are real if a∈[1;+∞) b)We represent the left−hand side of the equation x^4 −4x^3 −10x^3 +37x−14=0 as (x^2 +ax+c)(x^2 +bx+d)=0 ⇔x^4 +(a+b)x^3 +(ab+c+d)x^2 +(bc+ad)x +cd≡x^4 −4x^3 −10x^2 +37x−14.We have a system: { ((a+b=−4)),((ab+c+d=−10)),((bc+ad=37)),((cd=−14)) :} Since a,b,c and d are integers,it follows from the last equation that c=−1,d=14 or c=2,d=−7.The system is completely satisfied by the second pair of values of c and d;for these values we get a=−5 and b=1 for the other coefficients. Solving now the equations x^2 −5x+2=0(1) and x^2 −x−7=0(2) we find the roots of the original equation. x_(1,2) =((5±(√(17)))/2),x_(3,4) =((1±(√(29)))/2).Thus,the given equation has four roots: {((5−(√(17)))/2),((5−(√(17)))/2),((1+(√(29)))/2),((1−(√(29)))/2)}
$$\left.\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{2a}=\mathrm{0}\left(\ast\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{2a}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{a}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{look}\:\mathrm{at}\:\mathrm{this}\:\mathrm{like}\:\mathrm{as}\:\mathrm{a}\:\mathrm{quadratic} \\ $$$$\mathrm{equation}\:\mathrm{with}\:\mathrm{respect}\:\mathrm{to}\:\mathrm{a}\:\mathrm{with}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{discrimimant}\:\Delta'=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}\right) \\ $$$$=\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{1}=\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} .\mathrm{Hence}, \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{a}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\pm\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right).\mathrm{From}\:\mathrm{that} \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}−\mathrm{a}=\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{a}=\mathrm{0}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{Solving}\:\mathrm{eqns}.\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{and}\:\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{with}\:\mathrm{respect}\:\mathrm{to}\: \\ $$$$\mathrm{x}\:\mathrm{we}\:\mathrm{ontain}:\mathrm{x}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{3}}\:\mathrm{and}\: \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{3}} ,_{\mathrm{4}} =\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{1}}\: \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{x}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} \mathrm{are}\:\mathrm{real}\:\mathrm{if}\:\mathrm{a}\in\left[−\mathrm{3};+\infty\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{x}_{\mathrm{3},\mathrm{4}} \mathrm{are}\:\mathrm{real}\:\mathrm{if}\:\mathrm{a}\in\left[\mathrm{1};+\infty\right) \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\mathrm{We}\:\mathrm{represent}\:\mathrm{the}\:\mathrm{left}−\mathrm{hand}\:\mathrm{side}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{10x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{37x}−\mathrm{14}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{as}\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ax}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{d}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{ab}+\mathrm{c}+\mathrm{d}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{bc}+\mathrm{ad}\right)\mathrm{x} \\ $$$$+\mathrm{cd}\equiv\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{37x}−\mathrm{14}.\mathrm{We}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{system}: \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{a}+\mathrm{b}=−\mathrm{4}}\\{\mathrm{ab}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=−\mathrm{10}}\\{\mathrm{bc}+\mathrm{ad}=\mathrm{37}}\\{\mathrm{cd}=−\mathrm{14}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\:\mathrm{and}\:\mathrm{d}\:\mathrm{are}\:\mathrm{integers},\mathrm{it}\:\mathrm{follows} \\ $$$$\mathrm{from}\:\mathrm{the}\:\mathrm{last}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{that}\:\mathrm{c}=−\mathrm{1},\mathrm{d}=\mathrm{14} \\ $$$$\mathrm{or}\:\mathrm{c}=\mathrm{2},\mathrm{d}=−\mathrm{7}.\mathrm{The}\:\mathrm{system}\:\mathrm{is}\:\mathrm{completely} \\ $$$$\mathrm{satisfied}\:\mathrm{by}\:\mathrm{the}\:\mathrm{second}\:\mathrm{pair}\:\mathrm{of}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\: \\ $$$$\mathrm{c}\:\mathrm{and}\:\mathrm{d};\mathrm{for}\:\mathrm{these}\:\mathrm{values}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{a}=−\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{b}=\mathrm{1}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{other}\:\mathrm{coefficients}. \\ $$$$\mathrm{Solving}\:\mathrm{now}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equations} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{7}=\mathrm{0}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{original}\:\mathrm{equation}. \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{5}\pm\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}},\mathrm{x}_{\mathrm{3},\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}}.\mathrm{Thus},\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{given}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{has}\:\mathrm{four}\:\mathrm{roots}: \\ $$$$\left\{\frac{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$

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