Question Number 98255 by john santu last updated on 12/Jun/20
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{initial}\:\mathrm{values} \\ $$$$\mathrm{DEs}\:\mathrm{20y}''\:+\:\mathrm{4y}'\:+\mathrm{y}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$;\:\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\:=\:\mathrm{3}.\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}'\left(\mathrm{0}\right)\:=\:\mathrm{0}\: \\ $$
Commented by bemath last updated on 13/Jun/20
$$\mathrm{auxilary}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{euler}−\mathrm{cauchy} \\ $$$$\mathrm{20m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4m}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{m}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\pm\:\frac{{i}}{\mathrm{5}}\:\therefore\mathrm{y}=\mathrm{e}^{−\frac{{x}}{\mathrm{10}}} \:\left[{A}\mathrm{cos}\:\frac{{x}}{\mathrm{5}}+{B}\mathrm{sin}\:\frac{{x}}{\mathrm{5}}\right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{3}.\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{A}=\mathrm{3}.\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{y}'\left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{e}^{−\frac{{x}}{\mathrm{10}}} \:\left(−\frac{\mathrm{3}.\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{sin}\:\frac{{x}}{\mathrm{5}}+\frac{{B}}{\mathrm{5}}\mathrm{sin}\:\frac{{x}}{\mathrm{5}}\right) \\ $$$$\mathrm{y}'\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{B}=\frac{\mathrm{3}.\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{1}.\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{hence}\:\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{e}^{−\frac{{x}}{\mathrm{10}}} \:\left(\mathrm{3}.\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\frac{{x}}{\mathrm{5}}\:+\:\mathrm{1}.\mathrm{6}\:\mathrm{sin}\:\frac{{x}}{\mathrm{5}}\right)\:\blacksquare \\ $$
Answered by Mr.D.N. last updated on 12/Jun/20
$$\:\:\:\:\mathrm{20y}^{''} +\mathrm{4y}^{'} +\mathrm{y}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\:\left(\mathrm{20D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4D}+\mathrm{1}\right)\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{A}.\mathrm{E}.\:\:\mathrm{20m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4m}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{m}=\:\frac{−\mathrm{4}\overset{−} {+}\sqrt{\mathrm{16}−\mathrm{4}.\mathrm{20}.\mathrm{1}}}{\mathrm{2}.\mathrm{20}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\:\frac{−\mathrm{4}\overset{−} {+}\sqrt{\mathrm{16}−\mathrm{80}}}{\mathrm{40}}=\frac{−\mathrm{4}\overset{−} {+}\sqrt{−\mathrm{8}}}{\mathrm{40}} \\ $$$$\:\:\:\:=\:\frac{−\mathrm{4}\overset{−} {+}\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}}{\mathrm{40}}=\:\frac{−\mathrm{2}\overset{−} {+}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{i}}{\mathrm{20}}=\:\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\overset{−} {+}\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}\mathrm{i} \\ $$$$\:\:\mathrm{CF}=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{10}}} \:\left(\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{cos}\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}\:\mathrm{x}\:+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}\mathrm{x}\right) \\ $$$$\:\mathrm{PI}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{y}=\:\mathrm{CF}+\mathrm{PI} \\ $$$$\:\mathrm{y}=\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{10}}} \mathrm{cos}\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}\mathrm{x}\:+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{10}}} \mathrm{sin}\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\mathrm{Given}\::\:\:\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{3}.\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)=\:\mathrm{e}^{−\mathrm{0}} \left\{\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{0}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\mathrm{3}.\mathrm{2}\:=\:\mathrm{1}\left(\mathrm{C}_{\mathrm{1}} .\mathrm{1}+\mathrm{0}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} =\:\mathrm{3}.\mathrm{2} \\ $$$$\:\mathrm{y}^{'} \:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \left\{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{10}}} .\left(−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}\right)\mathrm{sin}\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}\mathrm{x}+\mathrm{cos}\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}\mathrm{x}.\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{10}}} \right\}+\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \left\{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{10}}} \frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}\mathrm{cos}\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}\:\mathrm{x}+\:\mathrm{sin}\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}\mathrm{x}.\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{10}}} \right\} \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}−\mathrm{0}\right) \\ $$$$\:\mathrm{0}\:=\:−\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{3}.\mathrm{2}}{\mathrm{10}}=\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}} \\ $$$$\:\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}\:} \frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}=\:\mathrm{3}.\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} =\:\frac{\mathrm{6}.\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=\mathrm{4}.\mathrm{52} \\ $$$$\:\:\therefore\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}.\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} =\mathrm{4}.\mathrm{52} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{y}=\:\mathrm{e}^{\frac{−\mathrm{x}}{\mathrm{10}}} \left(\mathrm{3}.\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}\mathrm{x}\:+\mathrm{4}.\mathrm{52}\:\mathrm{sin}\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{20}}\mathrm{x}\right)\://. \\ $$$$\:\:\mathrm{initial}\:\mathrm{value}\:\mathrm{around}\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} =\mathrm{3}.\mathrm{2} \\ $$$$\: \\ $$
Commented by bemath last updated on 13/Jun/20
$$\mathrm{wrong}\:\mathrm{in}\:\sqrt{\mathrm{16}−\mathrm{80}}\:=\:\sqrt{−\mathrm{8}} \\ $$