Question Number 169053 by Mastermind last updated on 23/Apr/22
$${Solve}\:{the}\:{ODE}\: \\ $$$${y}'\:+\:\mathrm{2}{xy}\:=\:{xe}^{−{x}^{\mathrm{2}} } ,\:{with}\:{y}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$${Mastermind} \\ $$
Answered by haladu last updated on 23/Apr/22
$$\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}'\:\:+\:\boldsymbol{\mathrm{p}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)\boldsymbol{\mathrm{y}}\:=\:\boldsymbol{\mathrm{Q}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right) \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{p}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)\:=\:\:\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}\:\: \\ $$$$\:\: \\ $$$$\:\:\boldsymbol{\mathrm{I}}.\:\boldsymbol{\mathrm{f}}\:\:=\:\:\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\int\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}\:\:\boldsymbol{\mathrm{dx}}} \:\:=\:\:\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \:} \:\: \\ $$$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}\:\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \:} \:\:=\:\:\:\int\:\:\boldsymbol{\mathrm{xe}}^{−\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} } \:×\:\:\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} } \:\:\boldsymbol{\mathrm{dx}}\:\: \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{ye}}^{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} } \:\:\:=\:\:\int\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}\:\:\boldsymbol{\mathrm{dx}}\:\:=\:\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\:+\:\:\boldsymbol{\mathrm{C}} \\ $$$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}\:\:=\:\:\boldsymbol{\mathrm{e}}^{−\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} } \:\left(\:\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\:+\:\:\boldsymbol{\mathrm{C}}\:\right) \\ $$$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}\:\:=\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}\:\:\:=\:\:\mathrm{1}\:\: \\ $$$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:=\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{C}} \\ $$$$\:\: \\ $$$$\:\:\Rightarrow\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}\:\:=\:\:\boldsymbol{\mathrm{e}}^{−\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} } \:\left(\:\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\:+\:\mathrm{1}\:\:\right) \\ $$$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\boldsymbol{\mathrm{Haladu}}\:\:\boldsymbol{\mathrm{B}}\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{Bello}} \\ $$